Ajustement au jugé : la banquise arctique

Énoncé

Chaque année, la banquise arctique atteint son étendue minimale en septembre. Le tableau donne l'étendue moyenne de septembre, en millions de km², arrondie au dixième, tous les cinq ans ; x est le nombre d'années écoulées depuis 1980. | Année | xᵢ | Étendue yᵢ | |:---:|:---:|:---:| | 1980 | 0 | 7,7 | | 1985 | 5 | 6,7 | | 1990 | 10 | 6,1 | | 1995 | 15 | 6,1 | | 2000 | 20 | 6,3 | | 2005 | 25 | 5,5 | | 2010 | 30 | 4,9 | | 2015 | 35 | 4,6 | | 2020 | 40 | 4,0 | Source : NSIDC (National Snow and Ice Data Center), Sea Ice Index, version 4, consulté en octobre 2026. *Calculatrice autorisée.* a) Décrire l'allure du nuage. Un ajustement affine paraît-il raisonnable ? b) Calculer les coordonnées du point moyen G (ordonnée arrondie au centième). c) Une élève trace au jugé une droite D, qui passe par les points A(0 ; 7,4) et B(40 ; 4,2). Déterminer l'équation réduite de D, puis vérifier que D passe très près de G. d) Interpréter le coefficient directeur de D. e) En 2012, l'étendue de septembre a été de 3,6 millions de km². Que donne la droite D ? Commenter. f) Pour le Giec, l'Arctique est « pratiquement libre de glace » quand il y reste moins d'un million de km² de glace de mer. Selon la droite D, à partir de quelle année l'étendue de septembre passerait-elle sous ce seuil ? Le 6e rapport du Giec (2021) juge probable que cela se produise en septembre au moins une fois avant 2050. Que penser de l'extrapolation ?

Indice : Coefficient directeur : a = (yB - yA)/(xB - xA). Pour f), résous ax + b ≤ 1 avec l'équation trouvée en c).

Correction

1. Étape 1 : Un ajustement au jugé ne se calcule pas : il se trace. Le calcul ne vient qu'ensuite, pour écrire l'équation de la droite tracée, à partir de deux de ses points. Droite passant par deux points : Pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB) avec xA ≠ xB : a = (yB - yA)/(xB - xA), puis b s'obtient en écrivant que A est sur la droite.
2. Étape 2 : a) Le nuage descend : l'étendue de la banquise diminue. Les points sont à peu près alignés, malgré des irrégularités (un palier entre 1990 et 2000) : un ajustement affine paraît raisonnable pour résumer la tendance.
3. Étape 3 : b) x̄ = (0 + 5 + ⋯ + 40)/9 = 180/9 = 20. ȳ = (7,7 + 6,7 + 6,1 + 6,1 + 6,3 + 5,5 + 4,9 + 4,6 + 4,0)/9 = (51,9)/9 ≈ 5,77, d'où G(20 ; 5,77).
4. Étape 4 : c) Le coefficient directeur se calcule avec les deux points de la droite. Comme A, d'abscisse 0, est sur la droite, b = 7,4 : la droite D a pour équation y = -0,08x + 7,4. Pour x = 20 : -0,08 × 20 + 7,4 = -1,6 + 7,4 = 5,8, à 0,03 près de l'ordonnée de G (5,77) : D passe très près de G, signe que l'élève a bien équilibré sa droite.

   a = (4,2 - 7,4)/(40 - 0) = (-3,2)/40 = -0,08

5. Étape 5 : d) Le coefficient directeur est la variation de y quand x augmente de 1 an : selon cet ajustement, l'étendue de septembre diminue de 0,08 million de km² par an, soit 80 000 km² par an — à peu près la superficie de l'Autriche (environ 84 000 km²) chaque année, en moyenne.
6. Étape 6 : e) 2012 correspond à x = 32 : la droite donne 4,84 millions de km², alors que l'étendue réelle a été de 3,6 millions, plus d'un million de km² en dessous. 2012 est l'année du record de fonte : un ajustement résume la tendance, il ne prévoit pas les écarts d'une année particulière.

   -0,08 × 32 + 7,4 = 4,84

7. Étape 7 : f) L'étendue est en millions de km² : le seuil d'un million de km² correspond donc à y = 1. On résout -0,08x + 7,4 ≤ 1, soit -0,08x ≤ -6,4, donc 0,08x ≥ 6,4 et x ≥ 80 (on divise par 0,08, qui est positif). Contrôle : pour x = 79 on trouve 1,08 > 1, pour x = 80, exactement 1. Selon la droite, l'étendue passerait sous un million de km² à partir de 1980 + 80 = 2060. Le Giec, lui, juge probable que ce seuil soit franchi en septembre au moins une fois avant 2050. Les deux résultats ne disent pas tout à fait la même chose : la droite décrit une tendance moyenne, alors que le Giec parle d'une année isolée, qui peut tomber bien sous la tendance — comme 2012 à la question e). De plus, le Giec compte la surface réellement couverte de glace, un peu plus petite que l'étendue. Ses projections reposent sur des modèles physiques du climat, qui tiennent compte des mécanismes de fonte ; la droite ne fait que prolonger la tendance passée. Une extrapolation à quarante ans au-delà des données n'est qu'un ordre de grandeur, et celle-ci est vraisemblablement trop optimiste.

   -0,08x + 7,4 ≤ 1 ⟺ x ≥ 80

8. Étape 8 : Lire les deux points sur le nuage au lieu de la droite : Calculer l'équation avec deux points du nuage, par exemple ceux de 1980 et 2020, donne y = -0,0925x + 7,7 : une droite qui dépend entièrement de deux années particulières (1980 est une année de forte étendue) et qui passe moins près de G (5,85 pour x = 20, au lieu de 5,77). Au jugé, on lit deux points de la droite tracée, qui résume tous les relevés. Le rythme dépend de la période : Sur 1997-2017, la leçon trouvait une baisse de 0,1 million de km² par an ; sur 1980-2020, on trouve 0,08. Un coefficient directeur résume une période : il faut toujours dire laquelle.