Utiliser une droite d'ajustement

Énoncé

Le tableau donne le nombre de naissances vivantes en France, en milliers (arrondi au millier), une année sur deux de 2014 à 2022. On note x le rang de l'année (0 pour 2014) et y le nombre de naissances, en milliers. | Année | 2014 | 2016 | 2018 | 2020 | 2022 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | Rang xᵢ | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | | Naissances yᵢ (milliers) | 819 | 784 | 759 | 735 | 726 | Source : Insee, statistiques de l'état civil, naissances vivantes, France, consultées en octobre 2026. Un tableur ajuste ce nuage par la droite D d'équation y = -11,75x + 811,6, tracée sur la figure. *Sans calculatrice.* a) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage, puis vérifier que G appartient à D. b) Interpréter le coefficient directeur -11,75 dans cette situation. c) *Interpolation.* Estimer, à l'aide de D, le nombre de naissances en 2019. L'Insee en a compté 753 383 : commenter. d) *Extrapolation.* Estimer, à l'aide de D, le nombre de naissances en 2024. L'Insee en a compté 660 787 (valeur provisoire) : commenter.

Indice : Le rang de l'année 2019 est 2019 - 2014, pas la position de la colonne dans le tableau.

Correction

1. Étape 1 : La droite est donnée : il s'agit de s'en servir. Pour toute année, on calcule son rang x, puis -11,75x + 811,6, qui est une estimation du nombre de naissances en milliers. Interpoler, extrapoler : On interpole quand le rang est à l'intérieur de la plage des données (ici entre 0 et 8), on extrapole quand il est en dehors.
2. Étape 2 : a) Le nuage a 5 points : x̄ = (0 + 2 + 4 + 6 + 8)/5 = 4 et ȳ = (819 + 784 + 759 + 735 + 726)/5 = 3823/5 = 764,6. Pour x = 4, la droite donne -11,75 × 4 + 811,6 = -47 + 811,6 = 764,6 : c'est l'ordonnée de G, donc G(4 ; 764,6) appartient à D.

   -11,75 × 4 + 811,6 = 764,6

3. Étape 3 : b) Le coefficient directeur est la variation de y quand x augmente de 1. Comme x compte des années et y des milliers de naissances, selon cet ajustement le nombre de naissances diminue d'environ 11 750 par an, en moyenne.
4. Étape 4 : c) 2019 a pour rang x = 2019 - 2014 = 5, à l'intérieur de la plage des données : c'est une interpolation. L'estimation est d'environ 752 850 naissances, à moins de 600 près de la valeur réelle (753 383) : l'ajustement résume très bien cette période.

   -11,75 × 5 + 811,6 = -58,75 + 811,6 = 752,85

5. Étape 5 : d) 2024 a pour rang x = 10, en dehors de la plage des données : c'est une extrapolation. L'estimation est d'environ 694 100 naissances, alors que l'Insee en a compté 660 787 : la droite surestime d'environ 33 000 naissances. La baisse s'est accélérée après 2022, et la droite, construite sur 2014-2022, ne pouvait pas le savoir.

   -11,75 × 10 + 811,6 = -117,5 + 811,6 = 694,1

6. Étape 6 : Remplacer x par l'année : Calculer -11,75 × 2019 + 811,6 donne environ -22 912 milliers de naissances : un nombre négatif, donc absurde. Le x de l'équation est le rang de l'année, pas l'année elle-même. Une estimation se commente : Une interpolation est en général fiable, parce qu'elle reste entre des valeurs observées. Une extrapolation suppose que la tendance continue : plus on s'éloigne des données, plus il faut la présenter avec prudence.