Nuage de points et point moyen
Énoncé
La concentration de dioxyde de carbone (CO₂) dans l'atmosphère est mesurée à l'observatoire de Mauna Loa, à Hawaï ; ces relevés figurent parmi ceux qu'utilise le Giec. Le tableau donne la moyenne annuelle, en parties par million (ppm), arrondie à l'unité, une année sur deux. On note xᵢ le rang de l'année (0 pour 2015) et yᵢ la concentration.
| Année | 2015 | 2017 | 2019 | 2021 | 2023 |
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| Rang xᵢ | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| CO₂ yᵢ (ppm) | 401 | 407 | 412 | 416 | 421 |
Source : NOAA, Global Monitoring Laboratory, relevés de Mauna Loa, consultés en octobre 2026.
*Sans calculatrice.*
a) Représenter le nuage de points (xᵢ ; yᵢ). On pourra graduer l'axe des ordonnées à partir de 398.
b) Décrire l'allure du nuage.
c) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage.
d) Le point G est-il un point du nuage ? Que représente son ordonnée ?
Indice : Pour la moyenne des yᵢ, retire 400 à chaque valeur, calcule la moyenne de ce qui reste, puis rajoute 400.
Correction
- Étape 1 : Deux gestes à distinguer : représenter (placer chaque couple comme un point) et résumer (le point moyen condense le nuage en un seul point).
Point moyen :
Le point moyen d'un nuage de n points est G(x̄ ; ȳ), où x̄ est la moyenne des xᵢ et ȳ la moyenne des yᵢ.
- Étape 2 : a) On place les cinq points (0 ; 401), (2 ; 407), (4 ; 412), (6 ; 416) et (8 ; 421). L'axe des ordonnées ne commence pas à 0 : il est gradué autour des valeurs observées, ce qui rend les variations visibles.
- Étape 3 : b) Le nuage monte : la concentration augmente d'un relevé à l'autre. Ses points sont presque alignés, car la hausse est assez régulière, de 4 à 6 ppm tous les deux ans. Une droite le résumerait bien.
- Étape 4 : c) Le nuage compte 5 points, donc on divise par 5 :
x̄ = (0 + 2 + 4 + 6 + 8)/5 = 20/5 = 4
- Étape 5 : Pour ȳ, on retire 400 à chaque valeur : il reste 1, 7, 12, 16 et 21, de somme 57, donc de moyenne 57/5 = 11,4. On rajoute 400, d'où ȳ = 411,4 et le point moyen G(4 ; 411,4).
ȳ = 2057/5 = 411,4
- Étape 6 : d) Le seul point du nuage d'abscisse 4 est (4 ; 412), qui n'est pas G puisque 412 ≠ 411,4 : G n'est pas un point du nuage. Son ordonnée, 411,4 ppm, est la concentration moyenne des cinq années retenues.
- Étape 7 : Diviser par le nombre de points, pas par le nombre d'années :
De 2015 à 2023, il y a 9 années, mais le tableau n'en retient que 5. Diviser 2057 par 9 donnerait environ 228,6 ppm : une « moyenne » plus petite que toutes les valeurs du tableau, ce qui est impossible.
Contrôler une moyenne :
Une moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur, ici entre 401 et 421. Et le décalage (retirer 400, puis le rajouter) rend le calcul faisable de tête.