Optimiser : exactement un 6

Énoncé

On lance n fois un dé équilibré (n ≥ 1), et l'on note uₙ la probabilité d'obtenir exactement un 6. a) Montrer que uₙ = n/6(5/6)ⁿ⁻¹. b) Montrer que, pour tout n ≥ 1, (uₙ₊₁)/(uₙ) = (5(n+1))/6n. c) En déduire le sens de variation de la suite (uₙ), puis le nombre de lancers pour lequel la probabilité d'obtenir exactement un 6 est la plus grande. Donner cette probabilité maximale.

Indice : Les termes uₙ sont strictement positifs : comparer (uₙ₊₁)/(uₙ) à 1 revient à comparer uₙ₊₁ à uₙ.

Correction

1. Étape 1 : C'est un problème d'optimisation : la variable n'est plus k, mais le nombre de lancers n, et l'on cherche pour quel n la probabilité est la plus grande. Deux forces s'opposent : plus on lance, plus on a de chances d'obtenir un 6… mais aussi d'en obtenir plusieurs. Il doit donc exister un meilleur n. Étudier une suite à termes positifs par le quotient : Si uₙ > 0 pour tout n : uₙ₊₁ ≥ uₙ ⟺ (uₙ₊₁)/(uₙ) ≥ 1. 👉 Le quotient est ici beaucoup plus simple que la différence, parce que les puissances de 5/6 se simplifient.
2. Étape 2 : a) Le nombre X de 6 obtenus en n lancers suit B(n ; 1/6) : chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir un 6 », et les lancers sont indépendants. Donc uₙ = P(X = 1) = C(n,1) × 1/6 × (5/6)ⁿ⁻¹ = n/6(5/6)ⁿ⁻¹ car C(n,1) = n : le 6 unique peut tomber à n'importe lequel des n lancers.

   uₙ = n/6(5/6)ⁿ⁻¹

3. Étape 3 : b) Pour tout n ≥ 1, uₙ > 0, et (uₙ₊₁)/(uₙ) = ((n+1)/6(5/6)ⁿ)/(n/6(5/6)ⁿ⁻¹) = (n+1)/n × ((5/6)ⁿ)/((5/6)ⁿ⁻¹) = (n+1)/n × 5/6 d'où (uₙ₊₁)/(uₙ) = (5(n+1))/6n.

   (uₙ₊₁)/(uₙ) = (5(n+1))/6n

4. Étape 4 : c) Comme 6n > 0 : (uₙ₊₁)/(uₙ) ≥ 1 ⟺ 5(n+1) ≥ 6n ⟺ 5n + 5 ≥ 6n ⟺ n ≤ 5 avec égalité exactement pour n = 5. Donc : - pour 1 ≤ n ≤ 4, uₙ₊₁ > uₙ : la suite croît de u₁ à u₅ ; - u₆ = u₅ ; - pour n ≥ 6, uₙ₊₁ < uₙ : la suite décroît à partir de u₆. Le maximum est atteint pour 5 ou 6 lancers, et vaut u₅ = 5/6(5/6)⁴ = (5/6)⁵ = 3125/7776 ≈ 0,402

   u₅ = u₆ = (5/6)⁵ ≈ 0,402

5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre 6 lancers « parce qu'un 6 sort une fois sur six » — et s'arrêter là. C'est l'un des deux maximums, mais pas le seul : l'égalité u₆ = u₅ vient du cas d'égalité n = 5 dans l'inéquation, qu'il ne faut pas perdre en écrivant une inégalité stricte. Autre piège : voir le facteur 5/6 < 1 dans le quotient et conclure que (uₙ) est décroissante. On placerait le maximum en n = 1, avec u₁ = 1/6 ≈ 0,167, au lieu de u₅ = u₆ ≈ 0,402 : c'est le quotient complet, (uₙ₊₁)/(uₙ) = (5(n+1))/6n, qu'il faut comparer à 1 — pas l'un de ses facteurs. À retenir : Pour optimiser une probabilité binomiale en fonction de n, étudier la suite (uₙ) par le quotient (uₙ₊₁)/(uₙ) comparé à 1 : les puissances se simplifient, et il reste une inéquation du premier degré.