Comparer deux formats de match

Énoncé

Deux joueurs, Alice et Bruno, s'affrontent dans une série de manches. Alice gagne chaque manche avec la probabilité 0,6, indépendamment des autres manches. Deux formats sont possibles : en 3 manches (le premier à 2 manches gagnées remporte la série) ou en 5 manches (le premier à 3). a) On imagine que les 3 manches sont toujours jouées, même quand la série est déjà décidée. Expliquer pourquoi cela ne change pas le vainqueur. En déduire la probabilité qu'Alice remporte la série en 3 manches. b) Même question pour le format en 5 manches. c) Quel format Alice a-t-elle intérêt à choisir ? Et Bruno ?

Indice : Avec toutes les manches jouées, Alice remporte la série en 3 manches si et seulement si elle gagne au moins 2 manches sur 3.

Correction

1. Étape 1 : Le nombre de manches réellement jouées dépend du déroulement : la série peut s'arrêter après 2 manches. Ce n'est donc pas un nombre fixé, et la loi binomiale ne s'applique pas telle quelle. L'astuce de l'énoncé règle le problème : jouer quand même les manches restantes ne change pas le vainqueur. On se ramène ainsi à un nombre fixé de manches, donc à un schéma de Bernoulli. Comparer deux situations : Modéliser chacune par une loi binomiale, calculer la même probabilité dans les deux, puis comparer.
2. Étape 2 : a) Le nombre de manches gagnées par un joueur ne fait qu'augmenter. Celui qui atteint 2 victoires le premier en a donc encore au moins 2 après la 3ᵉ manche ; l'autre, qui a au plus 3 - 2 = 1 victoire sur les 3 manches, ne peut pas le rattraper. Le vainqueur est le même, que l'on joue la dernière manche ou non : Alice gagne la série si et seulement si elle gagne au moins 2 des 3 manches. Le nombre X de manches gagnées par Alice sur 3 suit B(3 ; 0,6) : P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 3 × 0,6² × 0,4 + 0,6³ = 0,432 + 0,216 = 0,648

   P(Alice gagne en 3 manches) = 0,648

3. Étape 3 : b) De même, en jouant toujours les 5 manches, Alice gagne la série si et seulement si elle gagne au moins 3 manches sur 5. Y ∼ B(5 ; 0,6) : P(Y = 3) = C(5,3) × 0,6³ × 0,4² = 10 × 0,216 × 0,16 = 0,3456 P(Y = 4) = C(5,4) × 0,6⁴ × 0,4 = 5 × 0,1296 × 0,4 = 0,2592 P(Y = 5) = 0,6⁵ = 0,07776 P(Y ≥ 3) = 0,3456 + 0,2592 + 0,07776 = 0,68256

   P(Alice gagne en 5 manches) ≈ 0,683

4. Étape 4 : c) 0,683 > 0,648 : Alice a intérêt au format en 5 manches. Bruno gagne chaque manche avec la probabilité 0,4, et ses chances de remporter la série sont les complémentaires : 1 - 0,648 = 0,352 en 3 manches, 1 - 0,68256 = 0,31744 en 5 manches. Il a intérêt au format en 3 manches. 👉 Le résultat est général : plus la série est longue, plus elle avantage le joueur le plus fort. Une série courte laisse plus de place au hasard, qui profite au moins fort.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Croire que les deux formats se valent, « puisqu'il faut gagner la majorité des manches dans les deux cas ». La proportion à atteindre est la même, mais la probabilité ne l'est pas : 0,648 contre 0,683. Autre piège : modéliser par B(2 ; 0,6) en disant « il faut gagner 2 manches » — le nombre de manches jouées n'est pas 2. À retenir : Quand le nombre d'épreuves dépend du déroulement, chercher à le fixer (ici, en jouant toutes les manches) sans changer l'événement étudié. On retrouve alors un schéma de Bernoulli.