La planche de Galton
Énoncé
Dans une planche de Galton à 6 rangées de clous, une bille part, à chaque clou, à droite avec la probabilité 1/2 et à gauche sinon, indépendamment d'un clou à l'autre. Les cases d'arrivée sont numérotées de 0 à 6 : le numéro de la case est le nombre de déviations à droite.
On simule l'expérience avec le programme suivant.
```python
from random import random
def bille(n):
case = 0
for rangee in range(n):
if random() < 0.5:
case = case + 1
return case
def planche(n, nb_billes):
effectifs = [0] * (n + 1)
for i in range(nb_billes):
k = bille(n)
effectifs[k] = effectifs[k] + 1
return effectifs
```
Une exécution de `planche(6, 1000)` a affiché `[18, 97, 247, 298, 229, 99, 12]`.
a) Que contient la liste `effectifs` à la fin de la fonction `planche` ? Pourquoi est-elle de longueur n + 1 ?
b) On note X le numéro de la case d'arrivée d'une bille. Quelle est la loi de X ? Justifier.
c) Calculer P(X = k) pour k allant de 0 à 6, puis les effectifs attendus sur 1 000 billes. Comparer avec la simulation.
d) La bille va autant à droite qu'à gauche. Pourquoi la case 3 est-elle pourtant la plus remplie ?
Indice : Chaque clou est une épreuve de Bernoulli : succès = « la bille part à droite ».
Correction
- Étape 1 : La planche de Galton est un schéma de Bernoulli matérialisé : chaque clou est une épreuve à deux issues, et la case d'arrivée compte les succès. La simulation, elle, fournit un échantillon de cette loi — et l'exercice demande de comparer ce que dit le modèle (des probabilités) à ce que donne l'expérience (des fréquences).
Loi binomiale :
P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ
👉 Avec p = 1/2, les facteurs pᵏ et (1-p)ⁿ⁻ᵏ se regroupent en (1/2)ⁿ, la même valeur pour tout k : seul le coefficient binomial distingue les cases.
- Étape 2 : a) « effectifs[k] » compte les billes arrivées dans la case k : à chaque bille, on calcule sa case « k », puis on ajoute 1 à la case correspondante de la liste. À la fin, la liste contient l'effectif de chaque case.
Elle a n + 1 éléments parce qu'une bille peut dévier à droite 0, 1, …, n fois : il y a n + 1 cases, de la case 0 à la case n.
- Étape 3 : b) Chacun des 6 clous rencontrés est une épreuve de Bernoulli de succès « la bille part à droite », de probabilité p = 1/2, la même à chaque clou ; les déviations sont indépendantes ; X compte les succès. Donc
X ∼ B(6 ; 1/2)
X ∼ B(6 ; 1/2)
- Étape 4 : c) P(X = k) = C(6,k) × (1/2)⁶ = 1/64C(6,k), et l'effectif attendu sur 1 000 billes vaut 1000 × P(X = k) :
| case k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| C(6,k) | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
| attendu | 15,6 | 93,8 | 234,4 | 312,5 | 234,4 | 93,8 | 15,6 |
| simulé | 18 | 97 | 247 | 298 | 229 | 99 | 12 |
La simulation suit de près le modèle : même forme en cloche, même case la plus remplie, et des écarts de quelques billes à une quinzaine. Ces écarts ne sont pas des erreurs : une autre exécution donnerait d'autres effectifs, tout aussi proches des valeurs attendues.
- Étape 5 : d) Chaque chemin de 6 déviations a la même probabilité, (1/2)⁶ = 1/64. Mais les cases ne reçoivent pas le même nombre de chemins : un seul chemin mène à la case 0 (toujours à gauche), alors que C(6,3) = 20 chemins mènent à la case 3 (trois déviations à droite, dans n'importe quel ordre).
La case du milieu est la plus remplie parce que c'est elle qu'atteignent le plus de chemins.
- Étape 6 : L'erreur classique :
Croire que les 7 cases sont équiprobables, « puisque la bille va autant à droite qu'à gauche » : on attendrait environ 1000/7 ≈ 143 billes par case, ce que la simulation dément nettement (12 billes en case 6, 298 en case 3). Ce sont les chemins qui sont équiprobables, pas les cases.
À retenir :
Simuler un échantillon donne des fréquences, qui varient d'une exécution à l'autre et s'approchent des probabilités quand l'échantillon grandit. Une liste « [0] * (n + 1) » et une boucle suffisent pour compter les résultats.