Un intervalle pour décider

Énoncé

Un fabricant affirme que 10 % de ses ampoules sont défectueuses. Une association de consommateurs prélève au hasard 100 ampoules dans un très grand stock. Si le fabricant dit vrai, le nombre X d'ampoules défectueuses de l'échantillon suit la loi B(100 ; 0,1). Extrait de la table des probabilités cumulées de cette loi : | k | 3 | 4 | 5 | 6 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | P(X ≤ k) | 0,0078 | 0,0237 | 0,0576 | 0,1172 | | k | 14 | 15 | 16 | 17 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | P(X ≤ k) | 0,9274 | 0,9601 | 0,9794 | 0,9900 | a) Déterminer le plus petit entier a tel que P(X ≤ a) > 0,025, et le plus petit entier b tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975. b) Calculer P(a ≤ X ≤ b). Pour aller plus loin (au-delà des attendus du programme, qui s'arrêtent à la recherche de l'intervalle) : c) L'association trouve 18 ampoules défectueuses dans son échantillon. Que peut-elle en conclure ? d) Que pourrait-elle conclure si elle en avait trouvé 14 ?

Indice : Pour a), parcours la table et repère où la probabilité cumulée franchit 0,025, puis 0,975. Pour b), P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a - 1).

Correction

1. Étape 1 : On construit un intervalle qui contient le nombre de défectueuses avec une probabilité d'au moins 0,95, si l'affirmation du fabricant est vraie. Pour aller plus loin que le programme (questions c et d) : une observation qui tombe hors de cet intervalle devient un argument contre l'affirmation. Intervalle de probabilité au moins 1 - α : a = plus petit entier tel que P(X ≤ a) > α/2 ; b = plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 1 - α/2. Alors P(a ≤ X ≤ b) ≥ 1 - α. Ici α = 0,05. 👉 On laisse au plus 2,5 % de probabilité à gauche de a, et au plus 2,5 % à droite de b.
2. Étape 2 : a) À gauche : P(X ≤ 4) ≈ 0,0237 ≤ 0,025, et P(X ≤ 5) ≈ 0,0576 > 0,025. Le premier entier qui dépasse 0,025 est a = 5. À droite : P(X ≤ 15) ≈ 0,9601 < 0,975, et P(X ≤ 16) ≈ 0,9794 ≥ 0,975. Le premier entier qui atteint 0,975 est b = 16.

   a = 5 ; b = 16

3. Étape 3 : b) On retire de {X ≤ 16} les valeurs 0 à 4 : P(5 ≤ X ≤ 16) = P(X ≤ 16) - P(X ≤ 4) ≈ 0,9794 - 0,0237 = 0,9557 C'est bien au moins 0,95, comme la méthode le garantit. Sous l'hypothèse du fabricant, un échantillon de 100 ampoules contient entre 5 et 16 défectueuses dans environ 96 % des cas.

   P(5 ≤ X ≤ 16) ≈ 0,956

4. Étape 4 : c) 18 n'appartient pas à [5 ; 16]. Si le fabricant disait vrai, une telle observation serait rare : l'ensemble des valeurs hors de l'intervalle n'a qu'une probabilité d'environ 1 - 0,9557 = 0,0443, moins de 5 %. L'association peut donc remettre en cause l'affirmation du fabricant. Elle prend ce faisant un risque de se tromper — rejeter une affirmation vraie — d'au plus 5 % environ.
5. Étape 5 : d) 14 appartient à [5 ; 16] : une telle observation est tout à fait compatible avec l'affirmation du fabricant. L'association n'a pas de raison de la remettre en cause. ⚠️ Ce n'est pas pour autant une preuve que le fabricant dit vrai : avec une proportion réelle de 12 % de défectueuses, par exemple, on observerait aussi très souvent une valeur de l'intervalle. On conclut « rien ne permet de rejeter », jamais « c'est vrai ».
6. Étape 6 : L'erreur classique : En a), prendre a = 4 parce que 0,0237 est « proche » de 0,025 : la règle demande de dépasser 0,025. On obtiendrait P(4 ≤ X ≤ 16) = 0,9794 - 0,0078 = 0,9716 : la garantie tient encore, mais ce n'est plus l'intervalle que la méthode construit. En c), conclure avec certitude : « le fabricant ment ». Une valeur hors de l'intervalle est improbable si l'affirmation est vraie, pas impossible — environ 4,4 % des échantillons tombent dehors même quand tout est conforme. À retenir : Intervalle de probabilité au moins 0,95 : a = premier entier où la cumulée dépasse 0,025, b = premier entier où elle atteint 0,975. Pour aller plus loin, la décision : observation hors de l'intervalle ⟹ on remet en cause l'hypothèse, avec un risque d'erreur d'au plus 5 % ; dans l'intervalle ⟹ on ne peut pas la rejeter.