La surréservation
Énoncé
Une compagnie aérienne exploite un avion de 150 places. Pour un vol, elle vend 160 billets. Chaque passager qui a acheté un billet se présente à l'embarquement avec la probabilité 0,92, indépendamment des autres. On note X le nombre de passagers qui se présentent.
a) Justifier que X suit une loi binomiale, et calculer E(X).
b) La calculatrice donne P(X ≤ 150) ≈ 0,8316. Quelle est la probabilité que des passagers se présentent sans avoir de place ? Commenter.
c) Combien de places faudrait-il au minimum dans l'avion pour que ce risque ne dépasse pas 5 % ? On donne :
| k | 151 | 152 | 153 | 154 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| P(X ≤ k) | 0,9004 | 0,9472 | 0,9754 | 0,9901 |
d) La fonction Python suivante doit renvoyer le plus petit entier k tel que P(X > k) ≤ α, pour X de loi B(n ; p) ; la fonction `cumul(n, p, k)` renvoie P(X ≤ k).
```python
def seuil(n, p, alpha):
k = 0
while ...:
k = k + 1
return k
```
Par quelle condition faut-il remplacer les points de suspension ?
e) L'avion garde ses 150 places, et la compagnie se demande combien de billets vendre. On note rₙ le risque de surréservation quand elle vend n billets. On donne r₁₅₇ ≈ 0,0285 et r₁₅₈ ≈ 0,0575, et l'on admet que rₙ augmente avec n. Combien de billets peut-elle vendre, au plus, pour que ce risque ne dépasse pas 5 % ?
Indice : Avec k places, il y a surréservation si X > k. Pour c), lis P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) de proche en proche, et garde le PREMIER k qui convient.
Correction
- Étape 1 : C'est l'exemple d'algorithme cité par le programme. La compagnie vend plus de billets que de places parce qu'elle sait que tous les passagers ne viendront pas ; elle doit donc mesurer le risque de devoir refuser quelqu'un à l'embarquement.
Le seuil de surréservation :
Avec k places, on manque de place si X > k. On cherche le plus petit k tel que
P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) ≤ α
Quand k augmente, P(X > k) diminue : on teste les entiers dans l'ordre, et l'on garde le premier qui convient.
- Étape 2 : a) Chaque billet vendu est une épreuve de Bernoulli de succès « le passager se présente », de probabilité p = 0,92, la même pour tous ; les 160 passagers se comportent indépendamment ; X compte les succès, donc X ∼ B(160 ; 0,92).
E(X) = np = 160 × 0,92 = 147,2 : en moyenne, 147 à 148 passagers se présentent, moins que les 150 places.
X ∼ B(160 ; 0,92) ; E(X) = 147,2
- Étape 3 : b) Des passagers restent sans place si plus de 150 se présentent :
P(X > 150) = 1 - P(X ≤ 150) ≈ 1 - 0,8316 = 0,1684
Le risque est d'environ 17 % : un vol sur six environ. L'espérance (147,2) est sous les 150 places, mais elle ne dit rien du risque ; c'est la dispersion autour d'elle (σ(X) = √(160 × 0,92 × 0,08) ≈ 3,4) qui fait souvent dépasser la barre.
P(X > 150) ≈ 0,168
- Étape 4 : c) On complète la table avec P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) :
| k | 151 | 152 | 153 | 154 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| P(X > k) | 0,0996 | 0,0528 | 0,0246 | 0,0099 |
P(X > 152) ≈ 0,0528 > 0,05 : 152 places ne suffisent pas. P(X > 153) ≈ 0,0246 ≤ 0,05 : il faut au minimum 153 places.
k = 153
- Étape 5 : d) L'algorithme teste les entiers dans l'ordre, et il doit continuer tant que la condition cherchée n'est pas remplie, c'est-à-dire tant que P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) > α. On remplace donc les points de suspension par
« 1 - cumul(n, p, k) > alpha »
La boucle s'arrête au premier k tel que P(X > k) ≤ α, qui est bien le plus petit. L'appel « seuil(160, 0.92, 0.05) » renvoie « 153 ».
⚠️ La condition du « while » est la négation de celle qu'on cherche : on continue tant que P(X > k) > α.
- Étape 6 : e) Cette fois, le nombre de places est fixé à 150 et c'est le nombre de billets n qui varie. Plus on vend de billets, plus il vient de passagers, donc plus le risque rₙ est grand — c'est pourquoi on peut admettre que rₙ augmente avec n.
r₁₅₇ ≈ 0,0285 ≤ 0,05 : 157 billets conviennent. r₁₅₈ ≈ 0,0575 > 0,05 : 158 ne conviennent plus, ni aucun nombre plus grand puisque le risque augmente.
La compagnie peut vendre au plus 157 billets, soit 7 de plus que de places.
nₘₐₓ = 157
- Étape 7 : L'erreur classique :
Retenir le dernier entier qui échoue au lieu du premier qui réussit : répondre 152 places en c), parce que c'est là que la probabilité « passe autour de » 0,05. Or avec 152 places le risque vaut encore 0,0528, au-dessus du seuil.
Et en e), le sens s'inverse : on cherche le plus grand n, puisque le risque augmente avec n. Répondre 158 dépasse le seuil.
À retenir :
Un problème de seuil se lit toujours de la même façon : écrire l'inégalité, repérer dans quel sens la probabilité varie, puis garder l'entier au bord du bon côté — et vérifier sur ses deux voisins.