Au moins un succès : combien d'essais ?

Énoncé

Un institut de sondage appelle des numéros au hasard. Chaque appel aboutit à une personne qui accepte de répondre avec la probabilité 0,15, indépendamment des autres appels. a) On passe n appels, et l'on note X le nombre de personnes qui acceptent. Quelle est la loi de X ? Exprimer en fonction de n la probabilité qu'au moins une personne accepte. b) Calculer cette probabilité pour n = 10. c) Déterminer le plus petit nombre d'appels qui garantit, avec une probabilité d'au moins 0,99, qu'au moins une personne accepte.

Indice : Pour c), il faut résoudre 1 - 0,85ⁿ ≥ 0,99. Attention : ln(0,85) est négatif.

Correction

1. Étape 1 : C'est le problème de seuil le plus fréquent au bac. L'inconnue n'est plus k mais le nombre d'épreuves n, et l'on veut que P(X ≥ 1) dépasse un seuil. Trouver le plus petit n : 1. Exprimer P(X ≥ 1) = 1 - (1-p)ⁿ. 2. Écrire l'inégalité, puis isoler (1-p)ⁿ. 3. Appliquer ln, strictement croissante : l'inégalité garde son sens. 4. Diviser par ln(1-p), qui est négatif : l'inégalité change de sens. 5. Arrondir à l'entier supérieur, et vérifier sur cet entier et le précédent.
2. Étape 2 : a) Chaque appel est une épreuve de Bernoulli de succès « la personne accepte », de probabilité p = 0,15 ; on en passe n, indépendamment ; X compte les succès, donc X ∼ B(n ; 0,15). Le contraire de « au moins une personne accepte » est « personne n'accepte », c'est-à-dire n échecs : P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,85ⁿ

   P(X ≥ 1) = 1 - 0,85ⁿ

3. Étape 3 : b) Pour n = 10 : P(X ≥ 1) = 1 - 0,85¹⁰ ≈ 1 - 0,1969 = 0,803 Avec dix appels, on a environ 80 % de chances d'obtenir au moins une réponse — une fois sur cinq, on n'en a aucune.

   1 - 0,85¹⁰ ≈ 0,803

4. Étape 4 : c) On résout 1 - 0,85ⁿ ≥ 0,99, c'est-à-dire 0,85ⁿ ≤ 0,01. La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+∞[ : n ln(0,85) ≤ ln(0,01). Comme ln(0,85) < 0 (car 0,85 < 1), diviser par ce nombre change le sens de l'inégalité : n ≥ (ln(0,01))/(ln(0,85)) ≈ 28,3 Le plus petit entier qui convient est n = 29. Vérification : 0,85²⁸ ≈ 0,0106 > 0,01, donc 28 appels ne suffisent pas ; 0,85²⁹ ≈ 0,0090 ≤ 0,01, donc 29 suffisent.

   n = 29

5. Étape 5 : L'erreur classique : Garder le sens de l'inégalité en divisant par ln(0,85), et conclure n ≤ 28,3 : « au plus 28 appels ». C'est absurde — plus on appelle, plus on a de chances d'obtenir une réponse —, et c'est ce qui doit alerter. Deuxième piège : arrondir à l'entier le plus proche, 28. La vérification montre qu'il ne suffit pas. À retenir : 1 - (1-p)ⁿ ≥ s ⟺ n ≥ (ln(1-s))/(ln(1-p)) On arrondit à l'entier supérieur, et l'on vérifie toujours sur l'entier trouvé et sur le précédent.