Contrôle qualité

Énoncé

Une entreprise produit des composants électroniques ; chacun est défectueux avec la probabilité 0,03, indépendamment des autres. Un lot de 50 composants est prélevé pour contrôle, et l'on note X le nombre de composants défectueux du lot. a) Justifier que X suit la loi B(50 ; 0,03). Calculer E(X) et σ(X). b) Calculer la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux. c) Calculer la probabilité qu'au plus 2 composants soient défectueux. d) Le lot est rejeté si plus de 3 composants sont défectueux. Calculer la probabilité de rejet, et l'interpréter pour l'entreprise.

Indice : Pour c), P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2). Pour d), « plus de 3 » veut dire X ≥ 4, et P(X > 3) = 1 - P(X ≤ 3).

Correction

1. Étape 1 : Avec n = 50, les sommes deviennent longues, et choisir le bon côté n'est plus un confort. De quel côté sommer : P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) 👉 La question d) demande P(X > 3), soit P(X ≥ 4) : 47 valeurs (de 4 à 50). Le contraire, P(X ≤ 3), n'en compte que 4. Le passage au contraire est obligatoire. ⚠️ Et un point de vocabulaire à trancher avant de calculer : « plus de 3 » veut dire X ≥ 4 ; « au moins 3 » voudrait dire X ≥ 3.
2. Étape 2 : a) Chaque composant est une épreuve de Bernoulli de succès « défectueux », de probabilité p = 0,03, indépendamment des autres ; on en examine n = 50, et X compte les défectueux : X ∼ B(50 ; 0,03) E(X) = np = 50 × 0,03 = 1,5 σ(X) = √(np(1-p)) = √(50 × 0,03 × 0,97) = √(1,455) ≈ 1,206

   E(X) = 1,5 ; σ(X) ≈ 1,206

3. Étape 3 : b) Aucun composant défectueux, c'est-à-dire les 50 conformes : un seul chemin, car C(50,0) = 1 : P(X = 0) = 0,97⁵⁰ ≈ 0,2181 Un lot sur cinq environ ne contient aucun défaut, ce qui est cohérent avec une moyenne de 1,5 défaut par lot.

   P(X = 0) ≈ 0,2181

4. Étape 4 : c) « Au plus 2 » se somme directement, car l'événement ne compte que trois valeurs, 0, 1 et 2 : P(X = 1) = C(50,1) × 0,03 × 0,97⁴⁹ = 50 × 0,03 × 0,2248… ≈ 0,3372 P(X = 2) = C(50,2) × 0,03² × 0,97⁴⁸ = 1225 × 0,0009 × 0,2318… ≈ 0,2555 P(X ≤ 2) ≈ 0,2181 + 0,3372 + 0,2555 = 0,8108 C'est aussi ce que donne directement la probabilité cumulée de la calculatrice.

   P(X ≤ 2) ≈ 0,8108

5. Étape 5 : d) Il ne manque que le terme k = 3 pour obtenir P(X ≤ 3) : P(X = 3) = C(50,3) × 0,03³ × 0,97⁴⁷ = 19 600 × 0,000027 × 0,2389… ≈ 0,1264 P(X ≤ 3) ≈ 0,8108 + 0,1264 = 0,9372, donc P(rejet) = P(X > 3) = 1 - P(X ≤ 3) ≈ 0,0628 Interprétation. Un lot parfaitement conforme à la qualité annoncée (3 % de défauts) est malgré tout rejeté environ 6 fois sur 100, par le seul hasard de l'échantillonnage. Pour aller plus loin : Hors programme, ce rejet à tort porte un nom en contrôle qualité : le *risque du producteur*. L'entreprise peut le réduire en relevant le seuil de rejet — au prix de laisser passer davantage de lots réellement défectueux.

   P(X > 3) ≈ 0,063

6. Étape 6 : L'erreur classique : Confondre « plus de 3 » (X ≥ 4) et « au moins 3 » (X ≥ 3). Un mot d'écart, et le résultat triple : P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) ≈ 1 - 0,8108 = 0,1892, au lieu de 0,0628. À retenir : Traduire l'énoncé en inégalité avant de calculer : « plus de k » ⟹ X ≥ k + 1 — « au moins k » ⟹ X ≥ k — « au plus k » ⟹ X ≤ k — « moins de k » ⟹ X ≤ k - 1 Puis compter les valeurs de chaque côté, et sommer du côté le plus court.