Un QCM rempli au hasard

Énoncé

Un QCM comporte 10 questions ; chacune propose 4 réponses, dont une seule est juste. Un élève répond au hasard à chaque question, indépendamment. On note X le nombre de bonnes réponses. a) Quelle loi suit X ? b) Calculer la probabilité d'avoir au moins une bonne réponse. c) La calculatrice donne P(X ≤ 4) ≈ 0,9219. Quelle est la probabilité d'avoir au moins 5 bonnes réponses, c'est-à-dire la moyenne ? d) Calculer E(X) et commenter.

Indice : Le contraire de « au moins 5 » est « au plus 4 ».

Correction

  1. Étape 1 : Les deux probabilités demandées couvrent plusieurs valeurs de X : ni l'une ni l'autre ne se calcule avec un seul terme de la formule. Mais toutes deux se ramènent à un calcul court, par le contraire. Passer au contraire : P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k - 1) - « au moins 1 » : le contraire est « aucune », un seul terme, P(X = 0) ; - « au moins 5 » : le contraire est « au plus 4 », dont la calculatrice donne directement la probabilité cumulée.
  2. Étape 2 : a) Chaque question est une épreuve de Bernoulli de succès « bonne réponse », de probabilité p = 1/4 = 0,25 ; elle est répétée 10 fois, de façon indépendante ; X compte les succès : X ∼ B(10 ; 0,25)

    X ∼ B(10 ; 0,25)

  3. Étape 3 : b) P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,75¹⁰ ≈ 1 - 0,0563 = 0,944 En répondant entièrement au hasard, on a environ 94 % de chances d'avoir au moins une bonne réponse. Ce n'est pas une performance : avec 10 questions à 4 choix, tout rater serait au contraire remarquable.

    P(X ≥ 1) ≈ 0,944

  4. Étape 4 : c) Le contraire de {X ≥ 5} est {X ≤ 4} : P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) ≈ 1 - 0,9219 = 0,0781 Avoir la moyenne au hasard arrive dans moins de 8 % des cas.

    P(X ≥ 5) ≈ 0,078

  5. Étape 5 : d) E(X) = np = 10 × 0,25 = 2,5 : en moyenne, répondre au hasard rapporte 2,5 bonnes réponses sur 10. Le hasard « moyen » est donc à la moitié de la moyenne, et l'atteindre arrive moins d'une fois sur douze. Répondre au hasard n'est pas une stratégie : c'est presque la garantie d'échouer.
  6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 5) : la valeur 5, qui fait partie de l'événement, passe du mauvais côté. On trouverait 1 - 0,9803 = 0,0197, soit quatre fois moins que la vraie valeur. Le repère qui évite l'erreur : P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k - 1), avec le -1. À retenir : « Au moins un » ⟹ 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)ⁿ. « Au moins k » ⟹ 1 - P(X ≤ k - 1), avec la probabilité cumulée de la calculatrice.