Espérance, variance et dispersion

Énoncé

Dans une usine, 5 % des pièces produites sont défectueuses. On prélève au hasard un échantillon de 200 pièces dans une production de plusieurs dizaines de milliers de pièces, et l'on note X le nombre de pièces défectueuses de l'échantillon. a) Justifier que l'on peut modéliser X par une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b) Calculer E(X), V(X) et σ(X). Interpréter E(X). c) La calculatrice donne P(X ≤ 3) ≈ 0,0090 et P(X ≤ 16) ≈ 0,9762. En déduire P(4 ≤ X ≤ 16), puis interpréter ce résultat à l'aide de E(X) et de σ(X).

Indice : Le prélèvement se fait sans remise, mais dans une très grande production. Pour c), P(4 ≤ X ≤ 16) = P(X ≤ 16) - P(X ≤ 3).

Correction

1. Étape 1 : Attention au modèle avant tout calcul : on prélève 200 pièces sans les remettre. En toute rigueur, ce n'est pas un schéma de Bernoulli — mais c'est une approximation légitime, et il faut la dire. Quand le sans-remise se traite comme un avec-remise : Lorsque l'échantillon représente une très petite part de la population (en pratique moins de 10 %), retirer les pièces prélevées ne modifie presque pas la proportion de défectueuses. On modélise alors par une loi binomiale. Ensuite, b) est une application des formules, et c) apprend à lire σ : elle donne l'ordre de grandeur des écarts entre le nombre de défectueuses d'un échantillon et la moyenne — la racine de la moyenne de leurs carrés, pas exactement leur moyenne.
2. Étape 2 : a) Chaque pièce prélevée est défectueuse avec la probabilité p = 0,05. L'échantillon (200 pièces) est une infime partie de la production (plusieurs dizaines de milliers), donc on assimile le prélèvement à 200 tirages indépendants. X compte les pièces défectueuses, d'où X ∼ B(200 ; 0,05)

   X ∼ B(200 ; 0,05)

3. Étape 3 : b) E(X) = np = 200 × 0,05 = 10 V(X) = np(1-p) = 200 × 0,05 × 0,95 = 9,5 σ(X) = √(9,5) ≈ 3,08 Interprétation : sur un grand nombre d'échantillons de 200 pièces, on trouve en moyenne 10 pièces défectueuses par échantillon. 👉 Contrôle : V(X) = E(X) × (1 - p), donc la variance est toujours plus petite que l'espérance pour une loi binomiale. Ici 9,5 < 10 ✓

   E(X) = 10 ; V(X) = 9,5 ; σ(X) ≈ 3,08

4. Étape 4 : c) L'événement {4 ≤ X ≤ 16} s'obtient en retirant de {X ≤ 16} les valeurs 0, 1, 2, 3 : P(4 ≤ X ≤ 16) = P(X ≤ 16) - P(X ≤ 3) ≈ 0,9762 - 0,0090 = 0,9672 Interprétation. E(X) - 2σ(X) ≈ 10 - 6,16 = 3,84 et E(X) + 2σ(X) ≈ 16,16 : les entiers de [3,84 ; 16,16] sont exactement 4, 5, …, 16. Environ 97 % des échantillons ont donc un nombre de défectueuses à moins de deux écarts types de la moyenne. C'est une fourchette de contrôle : trouver 25 pièces défectueuses dans un échantillon serait très inhabituel, et justifierait d'aller voir la chaîne de production.

   P(4 ≤ X ≤ 16) ≈ 0,967

5. Étape 5 : L'erreur classique : Retrancher P(X ≤ 4) au lieu de P(X ≤ 3) : on retirerait aussi la valeur 4, qui fait partie de l'événement, et l'on trouverait P(5 ≤ X ≤ 16) ≈ 0,9762 - 0,0264 = 0,9498 au lieu de 0,9672. Et en b), écrire V(X) = np = 10 : avec p petit, 1 - p est proche de 1 et l'erreur ne se voit presque pas — d'où l'intérêt de poser la formule complète à chaque fois. À retenir : P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a - 1) E(X) = np donne le centre, σ(X) l'ordre de grandeur des écarts : à deux écarts types de la moyenne, on a déjà presque toutes les valeurs observées.