Démontrer l'expression de P(X = k)

Énoncé

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, et l'on note X le nombre de succès. Le but est de démontrer que, pour tout entier k compris entre 0 et n, P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ a) Cas particulier n = 3. Lister les huit issues, donner la probabilité de chacune, et en déduire la loi de X. b) Cas général. Quelle est la probabilité d'une liste qui comporte exactement k succès ? Justifier. c) Combien de listes comportent exactement k succès ? Justifier. d) Conclure.

Indice : Trois ingrédients : l'indépendance (on multiplie le long d'un chemin), le dénombrement (on choisit les positions des succès), l'incompatibilité des issues (on additionne).

Correction

1. Étape 1 : C'est une démonstration exigible du programme : il faut savoir la rédiger, pas seulement en connaître le résultat. Elle tient en trois arguments, et chacun vient d'un chapitre différent. Les trois arguments : 1. Indépendance : la probabilité d'une liste est le produit des probabilités de ses résultats. 2. Dénombrement : on compte les listes à k succès en choisissant les positions des succès. 3. Incompatibilité : des issues distinctes ne se réalisent pas en même temps, donc on additionne leurs probabilités. 👉 Le cas n = 3 de la question a) n'est pas une perte de temps : il montre les trois arguments à l'œuvre sur des listes qu'on peut écrire en entier.
2. Étape 2 : a) Les 2³ = 8 issues, rangées selon leur nombre de succès, avec leur probabilité (produit le long du chemin) : | succès | listes | probabilité de chacune | |:---:|:---:|:---:| | 3 | SSS | p³ | | 2 | SSS̅, SS̅S, S̅SS | p²(1-p) | | 1 | SS̅ S̅, S̅SS̅, S̅ S̅S | p(1-p)² | | 0 | S̅ S̅ S̅ | (1-p)³ | On additionne les listes de chaque ligne : P(X = 0) = (1-p)³, P(X = 1) = 3p(1-p)², P(X = 2) = 3p²(1-p), P(X = 3) = p³. Les coefficients 1, 3, 3, 1 sont exactement C(3,0), C(3,1), C(3,2), C(3,3) : la formule est vérifiée pour n = 3.
3. Étape 3 : b) Une liste comportant k succès comporte n - k échecs. Les épreuves étant indépendantes, sa probabilité est le produit des probabilités de ses n résultats : k facteurs égaux à p et n - k facteurs égaux à 1 - p. L'ordre des facteurs ne changeant pas un produit, P(liste) = pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ quelle que soit la place des succès dans la liste.

   P(liste à k succès) = pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ

4. Étape 4 : c) Une liste à k succès est entièrement déterminée par les positions de ses succès : l'ensemble des rangs, parmi 1, 2, …, n, où l'on a écrit S. Réciproquement, toute partie à k éléments de {1, 2, …, n} définit une telle liste. Il y a donc autant de listes à k succès que de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments, c'est-à-dire, d'après le chapitre Combinatoire, C(n,k)

   C(n,k) listes

5. Étape 5 : d) L'événement {X = k} est la réunion de ces C(n,k) listes. Ce sont des issues distinctes, donc des événements incompatibles deux à deux : la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités. Comme elles ont toutes la même probabilité pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ (question b), cette somme compte C(n,k) termes égaux : P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ ce qu'il fallait démontrer.

   P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ

6. Étape 6 : L'erreur classique : S'arrêter à la question b) et écrire P(X = k) = pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ : c'est la probabilité d'une liste, pas de l'événement. Pour n = 3, k = 2 et p = 0,5, on trouverait 0,125 au lieu de 3 × 0,125 = 0,375. Autre oubli fréquent dans la rédaction : additionner sans dire pourquoi on en a le droit. C'est l'incompatibilité des issues qui le permet. À retenir : La démonstration en trois temps : produit (indépendance) — compte (positions des succès, C(n,k)) — somme (issues incompatibles, toutes de même probabilité).