Six lancers de dé

Énoncé

On lance 6 fois un dé équilibré. Soit X le nombre de 6 obtenus. a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b) Calculer P(X = 2). c) Calculer E(X) et σ(X). d) Calculer la probabilité d'obtenir au moins un 6. Est-ce « presque sûr » ?

Indice : Pour d), le contraire de « au moins un 6 » est « aucun 6 ».

Correction

1. Étape 1 : Avant d'écrire la moindre formule, il faut justifier le modèle : c'est ce que le correcteur attend, et c'est ce qui évite d'appliquer la loi binomiale là où elle ne s'applique pas. Les quatre conditions : même épreuve répétée un nombre fixé de fois ; deux issues ; même probabilité de succès ; indépendance. Ensuite, chaque question a son outil : la formule pour P(X = k), les formules np et √(np(1-p)) pour c), et le contraire pour « au moins un ».
2. Étape 2 : a) On répète 6 fois l'épreuve « lancer le dé », de succès « obtenir un 6 », de probabilité p = 1/6 à chaque lancer. Les lancers sont indépendants. X compte les succès, donc X ∼ B(6 ; 1/6)

   X ∼ B(6 ; 1/6)

3. Étape 3 : b) La formule, appliquée à k = 2 : P(X = 2) = C(6,2) (1/6)² (5/6)⁴ Chaque facteur a un sens précis : - C(6,2) = 15 : le nombre de façons de placer les deux 6 parmi les six lancers ; - (1/6)² = 1/36 : les deux succès ; - (5/6)⁴ = 625/1296 : les quatre échecs. P(X = 2) = 15 × 1/36 × 625/1296 = 9375/46656 ≈ 0,201

   P(X = 2) = 9375/46656 ≈ 0,201

4. Étape 4 : c) E(X) = np = 6 × 1/6 = 1 σ(X) = √(np(1-p)) = √(6 × 1/6 × 5/6) = √(5/6) ≈ 0,913 👉 E(X) = 1 se retrouve par le bon sens : un 6 sort une fois sur six, donc sur six lancers on en attend un en moyenne. Quand une formule redonne ce que dit l'intuition, c'est un contrôle gratuit.

   E(X) = 1 ; σ(X) ≈ 0,913

5. Étape 5 : d) Le contraire de « au moins un 6 » est « aucun 6 », c'est-à-dire le seul chemin où les six lancers échouent : P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (5/6)⁶ = 1 - 15625/46656 = 31031/46656 ≈ 0,665 Ce n'est pas presque sûr : en lançant six fois un dé, on n'obtient aucun 6 une fois sur trois environ (P(X = 0) ≈ 0,335). L'intuition « un 6 sur six lancers » décrit la moyenne, pas une garantie.

   P(X ≥ 1) ≈ 0,665

6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier le coefficient binomial : P(X = 2) = (1/6)²(5/6)⁴ ≈ 0,0134. Ce nombre n'est pas faux, mais il répond à une autre question : c'est la probabilité d'une liste précise, par exemple « 6, 6, puis quatre non-6 ». Or 15 listes donnent deux 6, d'où le facteur 15. À retenir : P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ P(X ≥ 1) = 1 - (1-p)ⁿ E(X) = np donne le nombre moyen de succès ; il ne garantit pas d'en obtenir un.