Calculer P(X = k)

Énoncé

Un vaccin a une efficacité de 80 % : une personne vaccinée est immunisée avec la probabilité 0,8. On vaccine 6 personnes choisies au hasard dans une grande population, et l'on note X le nombre de personnes immunisées. a) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. b) Calculer P(X = 4). c) Calculer P(X = 6). d) Calculer la probabilité qu'au moins 5 personnes soient immunisées.

Indice : Pour d), « au moins 5 » sur 6 ne laisse que deux valeurs : 5 et 6.

Correction

1. Étape 1 : Le mot « justifier » de la question a) est la partie notée : écrire X ∼ B(6 ; 0,8) sans rien montrer ne rapporte rien. Justifier une loi binomiale : quatre mentions : 1. l'épreuve répétée, le succès choisi et sa probabilité p ; 2. le nombre n de répétitions ; 3. l'indépendance ; 4. « X compte les succès, donc X ∼ B(n ; p) ». Loi binomiale : P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ
2. Étape 2 : a) On répète 6 fois l'épreuve « vacciner une personne », dont le succès « la personne est immunisée » a la probabilité p = 0,8, la même pour chacune. Les personnes sont choisies au hasard dans une grande population : le prélèvement ne change presque pas les proportions, donc on admet que les épreuves sont indépendantes. X compte les succès : X ∼ B(6 ; 0,8)

   X ∼ B(6 ; 0,8)

3. Étape 3 : b) P(X = 4) = C(6,4) × 0,8⁴ × 0,2² Par symétrie, C(6,4) = C(6,2) = (6 × 5)/2 = 15 ; puis 0,8⁴ = 0,4096 et 0,2² = 0,04. P(X = 4) = 15 × 0,4096 × 0,04 = 0,24576 ≈ 0,246 ⚠️ L'exposant de p est le nombre de succès (4), celui de 1 - p le nombre d'échecs (2) : leur somme fait bien 6.

   P(X = 4) = 0,24576

4. Étape 4 : c) P(X = 6) = C(6,6) × 0,8⁶ × 0,2⁰ = 1 × 0,262144 × 1 ≈ 0,262 car un seul chemin mène à 6 succès (C(6,6) = 1) et 0,2⁰ = 1.

   P(X = 6) = 0,262144

5. Étape 5 : d) « Au moins 5 » sur 6 personnes : X = 5 ou X = 6, deux événements incompatibles. P(X = 5) = C(6,5) × 0,8⁵ × 0,2 = 6 × 0,32768 × 0,2 = 0,393216 P(X ≥ 5) = 0,393216 + 0,262144 = 0,65536 ≈ 0,655 👉 Situons ces résultats : E(X) = np = 6 × 0,8 = 4,8. La valeur la plus probable, X = 5, est bien la plus proche de l'espérance, encadrée par P(X = 4) ≈ 0,246 et P(X = 6) ≈ 0,262.

   P(X ≥ 5) = 0,65536

6. Étape 6 : L'erreur classique : Intervertir p et 1 - p : P(X = 4) = 15 × 0,2⁴ × 0,8² ≈ 0,015. Le résultat est absurde, et c'est ce qui doit alerter : avec un vaccin efficace quatre fois sur cinq, 4 personnes immunisées sur 6 est un événement banal, pas une chance sur 65. À retenir : Deux contrôles avant de rendre P(X = k) : l'exposant de p est le nombre de succès k, et les deux exposants ont pour somme n. Puis situer le résultat avec E(X) = np : les valeurs les plus probables sont proches de np.