Reconnaître un schéma de Bernoulli

Énoncé

Pour chacune des situations suivantes, dire si la variable X suit une loi binomiale. Si oui, préciser ses paramètres ; si non, dire quelle condition manque. a) On lance 5 fois un dé équilibré ; X est le nombre de 6 obtenus. b) On tire successivement 3 boules avec remise dans une urne contenant 4 boules rouges et 6 boules bleues ; X est le nombre de boules rouges tirées. c) Même urne, mêmes 3 tirages, mais sans remise. d) Un candidat répond à trois questions, de façon indépendante. Il réussit la première avec la probabilité 0,9, la deuxième avec la probabilité 0,8 et la troisième avec la probabilité 0,7. X est le nombre de réponses justes. Dans ce cas, calculer P(X = 2).

Indice : Vérifie les quatre conditions : même épreuve répétée un nombre fixé de fois, deux issues, même probabilité de succès, indépendance. Pour d), dessine l'arbre.

Correction

1. Étape 1 : Il n'y a presque rien à calculer : quatre conditions à vérifier, une par une, sur chaque situation. C'est pourtant l'exercice qui protège tous les autres, parce que la faute qu'il prévient est invisible : appliquer la loi binomiale là où elle ne s'applique pas donne des calculs impeccables… sur un modèle faux. Les quatre conditions d'un schéma de Bernoulli : 1. une même épreuve, répétée un nombre fixé n de fois ; 2. deux issues par épreuve, succès ou échec ; 3. la même probabilité de succès p à chaque épreuve ; 4. des épreuves indépendantes. Si elles sont réunies et que X compte les succès, alors X suit la loi B(n ; p). 👉 Ce sont presque toujours les conditions 3 et 4 qui tombent : la 4 avec un tirage sans remise, la 3 quand les épreuves sont de difficultés différentes.
2. Étape 2 : a) Oui. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir un 6 », de probabilité p = 1/6, la même à chaque lancer. Les lancers sont indépendants — un dé n'a pas de mémoire — et leur nombre est fixé à 5. X ∼ B(5 ; 1/6)

   X ∼ B(5 ; 1/6)

3. Étape 3 : b) Oui. Le tirage avec remise est exactement ce qui garantit l'indépendance : après chaque tirage, l'urne retrouve sa composition initiale, donc la probabilité de tirer une rouge reste 4/10 = 0,4. X ∼ B(3 ; 0,4)

   X ∼ B(3 ; 0,4)

4. Étape 4 : c) Non : la condition 4 tombe — et il vaut mieux le montrer par un calcul que l'affirmer. Au 2ᵉ tirage, si la première boule était rouge, il reste 3 rouges sur 9 boules : la probabilité de tirer une rouge vaut 3/9 ≈ 0,333. Si elle était bleue, il reste 4 rouges sur 9 : 4/9 ≈ 0,444. La probabilité du succès au 2ᵉ tirage sachant le résultat du 1ᵉʳ n'est pas 0,4 : les tirages ne sont pas indépendants, donc ce n'est pas un schéma de Bernoulli. ⚠️ Prise isolément, la 2ᵉ boule est pourtant rouge avec la probabilité 4/10 × 3/9 + 6/10 × 4/9 = 36/90 = 0,4 (formule des probabilités totales) : la condition 3 tient, c'est l'indépendance qui manque. Et X ne suit aucune loi binomiale. L'arbre conditionnel donne P(X = 0) = 6/10 × 5/9 × 4/8 = 1/6 et P(X = 3) = 4/10 × 3/9 × 2/8 = 1/30. Si X suivait une loi B(3 ; q), on aurait (1-q)³ = 1/6 et q³ = 1/30, donc 1 - q ≈ 0,550 et q ≈ 0,322, dont la somme vaut environ 0,872 au lieu de 1 : c'est impossible.
5. Étape 5 : d) Non : la condition 3 tombe. Les épreuves sont bien indépendantes, mais leurs probabilités de succès diffèrent (0,9, 0,8, 0,7). On revient à l'arbre, en multipliant le long de chaque chemin. « Exactement deux réponses justes » est réalisé par trois chemins, selon la question manquée : - 3ᵉ manquée : 0,9 × 0,8 × 0,3 = 0,216 ; - 2ᵉ manquée : 0,9 × 0,2 × 0,7 = 0,126 ; - 1ʳᵉ manquée : 0,1 × 0,8 × 0,7 = 0,056. Ces chemins sont des issues distinctes, donc on additionne : P(X = 2) = 0,216 + 0,126 + 0,056 = 0,398 👉 Les trois chemins n'ont pas la même probabilité : c'est précisément pour cela que la formule binomiale, qui multiplie une probabilité de chemin par un nombre de chemins, ne s'applique pas ici.

   P(X = 2) = 0,398

6. Étape 6 : L'erreur classique : Appliquer la formule binomiale en d), avec une probabilité « moyenne » p = 0,8 : 3 × 0,8² × 0,2 = 0,384, au lieu de 0,398. L'écart est faible ici — ce qui rend l'erreur d'autant plus dangereuse — mais le résultat est faux, parce que le modèle l'est. Et pour c), ne pas voir les deux mots « sans remise » : ils changent entièrement le modèle. À retenir : Les quatre conditions, dans l'ordre : même épreuve répétée n fois, deux issues, même p, indépendance. Nuance indispensable : quand on prélève un petit échantillon dans une très grande population (moins de 10 % de la population), le sans-remise se modélise comme un avec-remise, et l'on emploie la loi binomiale en le disant. Ici, 3 boules sur 10, on en est très loin.