Loi de Bernoulli

Énoncé

On tire une boule au hasard dans une urne contenant 3 boules rouges et 7 boules bleues. On note X la variable aléatoire qui vaut 1 si la boule est rouge, 0 sinon. a) Donner la loi de X. Quelle loi reconnaît-on ? b) Calculer E(X) et V(X) à partir des définitions, puis vérifier avec les formules du cours. c) On change la composition de l'urne, et l'on note p la proportion de boules rouges. Pour quelle valeur de p la variance de X est-elle la plus grande ?

Indice : X ne prend que les valeurs 0 et 1. Pour c), étudie la fonction p ↦ p(1-p) sur [0 ; 1] : c'est un polynôme du second degré.

Correction

1. Étape 1 : Ce qui identifie une loi de Bernoulli n'est pas le contexte — urne, dé, contrôle qualité — mais la forme de la variable : elle ne prend que les valeurs 0 et 1. Dès qu'un énoncé écrit « X vaut 1 si…, 0 sinon », la loi est trouvée ; il ne reste qu'à nommer p, la probabilité de la valeur 1. Loi de Bernoulli de paramètre p : P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 - p, avec E(X) = p V(X) = p(1-p) 👉 La question b) demande de passer par les définitions : c'est ainsi que les deux formules se démontrent, et refaire le calcul une fois permet de ne plus jamais les confondre.
2. Étape 2 : a) L'urne contient 3 + 7 = 10 boules, dont 3 rouges ; chaque boule a la même chance d'être tirée. Donc P(X = 1) = 3/10 = 0,3 et P(X = 0) = 7/10 = 0,7. | k | 0 | 1 | |:---:|:---:|:---:| | P(X = k) | 0,7 | 0,3 | X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,3 : le « succès » est « la boule est rouge ». ⚠️ Le dénominateur est le nombre total de boules : 3/7 serait un rapport rouges sur bleues, qui n'est pas une probabilité.

   P(X = 1) = 0,3 ; P(X = 0) = 0,7

3. Étape 3 : b) L'espérance, moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités : E(X) = 0 × 0,7 + 1 × 0,3 = 0,3 La variance, moyenne des carrés des écarts à l'espérance : V(X) = (0 - 0,3)² × 0,7 + (1 - 0,3)² × 0,3 = 0,09 × 0,7 + 0,49 × 0,3 V(X) = 0,063 + 0,147 = 0,21 Vérification par les formules : E(X) = p = 0,3 ✓ et V(X) = p(1-p) = 0,3 × 0,7 = 0,21 ✓.

   E(X) = 0,3 ; V(X) = 0,21

4. Étape 4 : c) Pour une proportion p de boules rouges, V(X) = p(1 - p) = -p² + p. C'est un polynôme du second degré en p, de coefficient dominant -1 < 0 : sa courbe est une parabole tournée vers le bas, et son maximum est atteint au sommet, p = -b/2a = -1/(2 × (-1)) = 1/2, où V(X) = 1/2 × 1/2 = 1/4. La variance est la plus grande quand l'urne contient autant de rouges que de bleues. C'est cohérent : c'est la situation où l'on est le plus incertain du résultat. À l'inverse, pour p = 0 ou p = 1, le résultat est connu d'avance et la variance est nulle.

   V(X) ≤ 1/4, avec égalité pour p = 1/2

5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre V(X) = p = 0,3, en confondant variance et espérance. La formule de König-Huygens montre où se trouve le facteur manquant : comme X² = X, E(X²) = 0,3, et V(X) = E(X²) - E(X)² = 0,3 - 0,09 ; c'est ce -0,09 = -p² qui fait apparaître p(1-p). Le contrôle de c) le refuse aussitôt : une variable de Bernoulli a une variance d'au plus 0,25. À retenir : « X vaut 1 si…, 0 sinon » ⟹ loi de Bernoulli, de paramètre p = P(X = 1), avec E(X) = p et V(X) = p(1-p) ≤ 1/4. 👉 C'est la brique de tout le chapitre : une variable binomiale compte les succès de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.