Le trapèze d'aire maximale

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère le demi-cercle de centre O et de rayon 1 situé au-dessus de l'axe des abscisses, de diamètre [AB], avec A(-1\,;\,0) et B(1\,;\,0). Pour [0\,;\,{2}], on place sur ce demi-cercle les points C(\,;\,) et D(-\,;\,), et on note A() l'aire du trapèze ABCD. La figure représente le demi-cercle et, en pointillés, le trapèze obtenu pour une valeur de . a) Justifier que A() = (1 + ). b) Montrer que, pour tout [0\,;\,{2}], A'() = (2 - 1)( + 1). c) Étudier les variations de A sur [0\,;\,{2}]. Pour quelle valeur de l'aire est-elle maximale, et que vaut-elle alors ? d) Que peut-on dire du trapèze obtenu ?

Indice : Aire d'un trapèze : ({grande base + petite base) hauteur}{2}. Pour b), dérive un produit, puis remplace ^2 par 1 - ^2.

Correction

1. Étape 1 : Un problème d'optimisation géométrique : la figure se déforme quand varie, et tu cherches la position qui rend l'aire maximale. Retiens la démarche, toujours la même : exprimer la grandeur en fonction de , la dériver, étudier le signe de la dérivée, conclure. Optimiser une grandeur géométrique : 1. Exprimer la grandeur comme une fonction de la variable, en précisant son intervalle. 2. Dériver, puis factoriser la dérivée. 3. Étudier le signe de chaque facteur — ici sur le cercle trigonométrique. 4. Dresser le tableau de variations, lire l'extremum, et l'interpréter sur la figure. Un outil fait toute la question b) : la relation ^2 + ^2 = 1. Elle te permet de tout exprimer avec le seul , et donc de factoriser la dérivée comme un polynôme du second degré.
2. Étape 2 : a) Les côtés [AB] et [DC] sont tous deux horizontaux : A et B ont pour ordonnée 0, et C et D ont la même ordonnée . Ils sont donc parallèles : ABCD est un trapèze, de bases [AB] et [DC]. - grande base : AB = 1 - (-1) = 2 ; - petite base : DC = - (-) = 2, positif car 0 sur cet intervalle ; - hauteur : la distance entre les deux droites horizontales, soit , positif lui aussi. D'où : A() = (2 + 2) {2} = (1 + )

   A() = (1 + )

3. Étape 3 : b) A est un produit uv, avec u() = 1 + et v() = , donc u'() = - et v'() = : A'() = - + (1 + ) A'() = -^2 + + ^2 Pour n'avoir plus que des , on remplace ^2 par 1 - ^2, d'après la relation ^2 + ^2 = 1 : A'() = -(1 - ^2) + + ^2 = 2^2 + - 1

   A'() = 2^2 + - 1

4. Étape 4 : On reconnaît un polynôme du second degré en X = : 2X^2 + X - 1. Son discriminant vaut = 1^2 - 4 2 (-1) = 9, et ses racines sont : X_1 = -1 - 3{4} = -1 X_2 = -1 + 3{4} = 1{2} D'où la factorisation 2X^2 + X - 1 = 2(X + 1)(X - 1{2}) = (X + 1)(2X - 1), c'est-à-dire : A'() = (2 - 1)( + 1) Vérification en développant : (2 - 1)( + 1) = 2^2 + 2 - - 1, ce qui redonne bien 2^2 + - 1 ✓

   A'() = (2 - 1)( + 1)

5. Étape 5 : c) On étudie le signe de chaque facteur sur [0\,;\,{2}]. - + 1 > 0, puisque 0 sur cet intervalle. - 2 - 1 0 1{2}. Sur [0\,;\,{2}], le cosinus est décroissant et vaut 1{2} en {3} : donc 1{2} pour [0\,;\,{3}], et < 1{2} pour ]{3}\,;\,{2}]. Le signe de A'() est donc celui de 2 - 1 : | | 0 | | {3} | | {2} | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | A' | | + | 0 | - | | | A | 0 | | 3{3}{4} | | 1 |
6. Étape 6 : Les valeurs du tableau : A(0) = (1 + 1) 0 = 0 : le trapèze est aplati sur le diamètre. A({3}) = (1 + 1{2}) {3}{2} = 3{2} {3}{2} = 3{3}{4} 1{,}30 A({2}) = (1 + 0) 1 = 1 : C et D sont confondus au sommet du demi-cercle, et le trapèze devient un triangle. L'aire est donc maximale pour = {3}, et elle vaut alors 3{3}{4} 1{,}30 unité d'aire.

   A({3}) = 3{3}{4} 1{,}30

7. Étape 7 : d) Pour = {3}, la petite base vaut DC = 2{3} = 1. Et le côté [BC] aussi : le triangle OBC est isocèle en O (OB = OC = 1, deux rayons) avec un angle de {3} au sommet, donc il est équilatéral, et BC = 1. Par symétrie, AD = 1. Le trapèze optimal a donc trois côtés égaux au rayon : c'est la moitié d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle. Vérification par une autre voie : il est formé de trois triangles équilatéraux de côté 1 (OBC, OCD et ODA), chacun d'aire {3}{4}, soit en tout 3{3}{4} ✓
8. Étape 8 : L'erreur classique : Résoudre = 1{2} en = {6}, en confondant avec {6} = 1{2}. Tu annoncerais alors une aire maximale de (1 + {3}{2}) 1{2} 0{,}93 — plus petite que l'aire 1 obtenue en {2}, ce qui aurait dû t'alerter. Autre erreur : dériver 1 + en 1 - , alors que la dérivée d'une constante est nulle. À retenir : Quand une dérivée contient à la fois ^2 et , remplace ^2 par 1 - ^2 : elle devient un polynôme en , qu'on factorise comme un second degré. Et interprète toujours l'optimum sur la figure — ici un demi-hexagone régulier, ce qui confirme le calcul.