Étude de f(x) = 2 sin x + cos(2x)

Énoncé

Soit f(x) = 2 x + (2x) définie sur [0\,;\,2]. On admet que, pour tout réel x, (2x) = 2 x x. a) Calculer f'(x). b) Montrer que f'(x) = 2 x\,(1 - 2 x). c) Résoudre f'(x) = 0 sur [0\,;\,2]. d) Dresser le tableau de variations de f sur [0\,;\,2].

Indice : La dérivée de x (2x) est x -2(2x). Remplace ensuite (2x) par 2 x x pour factoriser.

Correction

1. Étape 1 : Une étude de fonction classique, dont la difficulté est le terme (2x) : ne le confonds pas avec x, c'est un cosinus composé avec x 2x. Dérivée de cos(ax + b) : D'après la dérivée d'une fonction composée, pour tous réels a et b : [formule] Une fois dérivée, f mélange x et (2x), et le signe d'un tel mélange ne se lit pas directement. D'où le rôle de la formule donnée par l'énoncé, (2x) = 2 x x : elle réécrit tout avec x et x, ce qui fait apparaître un facteur commun. Une formule « admise » dans un énoncé est un outil offert — c'est presque toujours la clé d'une question : cherche où elle sert.
2. Étape 2 : a) On dérive terme à terme. Le premier terme donne (2 x)' = 2 x ; le second, d'après le rappel avec a = 2 et b = 0, ((2x))' = -2(2x). Donc : f'(x) = 2 x - 2(2x)

   f'(x) = 2 x - 2(2x)

3. Étape 3 : b) On remplace (2x) grâce à la formule admise : f'(x) = 2 x - 2 2 x x = 2 x - 4 x x Les deux termes ont 2 x en facteur commun : f'(x) = 2 x\,(1 - 2 x) Cette forme factorisée est celle qui compte : le signe d'une somme ne se lit pas directement, alors que celui d'un produit s'étudie facteur par facteur. C'est tout l'intérêt de la question b), qui prépare la suivante.

   f'(x) = 2 x\,(1 - 2 x)

4. Étape 4 : c) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : f'(x) = 0 x = 0 ou 1 - 2 x = 0 Premier facteur : x = 0 donne x = {2} et x = 3{2}. Second facteur : 1 - 2 x = 0 x = 1{2}, ce qui donne x = {6} et x = 5{6}. Quatre valeurs critiques, qu'on range dans l'ordre croissant : {6} < {2} < 5{6} < 3{2}

   x \{{6}\,;\,{2}\,;\,5{6}\,;\,3{2}\}

5. Étape 5 : d) Ces quatre valeurs découpent [0\,;\,2] en cinq morceaux. Sur chacun, on lit le signe des deux facteurs séparément, puis on multiplie. Rappel : x est positif à droite du cercle (donc avant {2} et après 3{2}), et 1 - 2 x est positif quand x < 1{2}. Or, sur [0\,;\,2], x > 1{2} exactement pour x ]{6}\,;\,5{6}[ : ce sont les points du cercle situés au-dessus de la droite d'ordonnée 1{2}. Donc 1 - 2 x < 0 sur cet intervalle, et 1 - 2 x > 0 sur [0\,;\,{6}[ et sur ]5{6}\,;\,2]. Les valeurs de f aux bornes de chaque morceau sont calculées à l'étape suivante ; on les reporte ici. | intervalle | x | 1-2 x | f'(x) | f | | --- | --- | --- | --- | --- | | 0 à {6} | + | + | + | croît de 1 à 3{2} | | {6} à {2} | + | - | - | décroît de 3{2} à 1 | | {2} à 5{6} | - | - | + | croît de 1 à 3{2} | | 5{6} à 3{2} | - | + | - | décroît de 3{2} à -3 | | 3{2} à 2 | + | + | + | croît de -3 à 1 |
6. Étape 6 : On calcule enfin les valeurs de f aux bornes et aux points critiques, en se rappelant que f(x) = 2 x + (2x) : f(0) = 0 + 0 = 1 f\!({6}) = 2 1{2} + {3} = 1 + 1{2}, soit 3{2} f\!({2}) = 2 1 + = 2 - 1 = 1 f\!(5{6}) = 2 1{2} + 5{3} = 1 + 1{2}, soit 3{2} f\!(3{2}) = 2 (-1) + 3 = -2 - 1 = -3 f(2) = 0 + 4 = 1

   f = 3{2} f = -3

7. Étape 7 : Les valeurs confirment le tableau : f monte de 1 à 3{2}, redescend à 1, remonte à 3{2}, plonge à -3, puis remonte à 1. Le maximum vaut 3{2}, atteint deux fois, et le minimum vaut -3. Un contrôle de cohérence : f(0) = f(2) = 1. C'est obligatoire, puisque et sont périodiques de période 2 — si les deux valeurs différaient, il y aurait une erreur quelque part. La courbe de f sur [0\,;\,2] confirme le tableau : deux sommets à la même hauteur 3{2}, en {6} et 5{6}, puis la descente jusqu'au minimum -3 en 3{2}.
8. Étape 8 : L'erreur classique : Dériver (2x) en -(2x), sans le facteur 2 : tu obtiens f'(x) = 2 x - (2x) = 2 x\,(1 - x), dont le second facteur ne s'annule qu'en {2}. Les points critiques {6} et 5{6} disparaissent, et avec eux le maximum 3{2}. Autre erreur : sortir le 2 comme si (2x) valait 2 x. Le cosinus n'est pas linéaire : (2 0) = 1, alors que 2 0 = 2. À retenir : Devant (ax + b) ou (ax + b), n'oublie jamais de multiplier par a. Et une fois la dérivée obtenue, factorise-la : c'est la forme factorisée, et elle seule, qui permet de lire un signe — quitte à utiliser une formule donnée par l'énoncé pour y parvenir.