Étude de x − 2 sin x sur [−π ; π]
Énoncé
Soit f la fonction définie sur [-\,;\,] par f(x) = x - 2 x.
a) Montrer que f est impaire. Comment cela se traduit-il sur sa courbe ?
b) Calculer f'(x), puis résoudre l'inéquation f'(x) 0 sur [-\,;\,].
c) Dresser le tableau de variations de f sur [-\,;\,].
d) Déterminer le maximum et le minimum de f sur [-\,;\,].
Indice : Pour b), isole x dans l'inéquation et lis la réponse sur le cercle. Pour d), n'oublie pas les bornes de l'intervalle.
Correction
- Étape 1 : Une étude de fonction complète, qui réunit les trois outils du chapitre : la parité pour comprendre la forme de la courbe, la dérivée du sinus pour les variations, et une inéquation en cosinus pour le signe de la dérivée.
Les outils :
- Une fonction définie sur un intervalle symétrique par rapport à 0 est impaire si f(-x) = -f(x) : sa courbe est alors symétrique par rapport à l'origine.
- ' = .
- Sur [-\,;\,], si ]0\,;\,[ vérifie = a : x a x [-\,;\,-] [\,;\,].
Le dernier point est la clé : ne devine pas le signe de f'(x), résous-le. Et pour la question d), un tableau de variations ne livre pas son maximum d'un coup d'œil : tu dois comparer les sommets et les bornes.
- Étape 2 : a) L'intervalle [-\,;\,] est symétrique par rapport à 0 : si x en fait partie, -x aussi. Pour tout x de cet intervalle, comme le sinus est impair :
f(-x) = -x - 2(-x) = -x + 2 x = -(x - 2 x) = -f(x)
Donc f est impaire, et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. En particulier, f(0) = 0 - 2 0 = 0 : la courbe passe par O.
f(-x) = -f(x)
- Étape 3 : b) On dérive terme à terme, avec ' = :
f'(x) = 1 - 2 x
On résout f'(x) 0 en isolant le cosinus. On retranche 1, puis on divise par -2, qui est négatif : le sens de l'inégalité change.
1 - 2 x 0 -2 x -1 x 1{2}
Sur [-\,;\,], l'équation x = 1{2} a pour solutions -{3} et {3}, et les points du cercle d'abscisse inférieure ou égale à 1{2} sont ceux de l'arc de gauche, qui passe par (-1\,;\,0). D'où deux morceaux : f'(x) 0 exactement pour
x [-\,;\,-{3}] [{3}\,;\,]
- Étape 4 : c) La dérivée est positive sur [-\,;\,-{3}], négative sur [-{3}\,;\,{3}], positive sur [{3}\,;\,]. On calcule les valeurs utiles, avec {3} = {3}{2} :
f({3}) = {3} - 2 {3}{2}, soit :
f({3}) = {3} - 3 -0{,}68
f() = - 2 =
Par imparité, f(-{3}) = 3 - {3} 0{,}68 et f(-) = -.
| intervalle | f'(x) | f |
| --- | --- | --- |
| de - à -{3} | + | croît de - à 3 - {3} |
| de -{3} à {3} | - | décroît jusqu'à {3} - 3 |
| de {3} à | + | croît jusqu'à |
- Étape 5 : d) Le tableau montre un maximum local en -{3}, de valeur 3 - {3} 0{,}68. Ce n'est pas pour autant le maximum sur tout l'intervalle : après {3}, la fonction remonte jusqu'à f() = 3{,}14.
Le maximum de f sur [-\,;\,] est donc la plus grande des valeurs « hautes » du tableau. Comme > 3 - {3}, il vaut , atteint en x = .
De même, le minimum est la plus petite des valeurs « basses ». Comme - < {3} - 3, il vaut -, atteint en x = - — ce que l'imparité annonçait, par symétrie.
f = \ en \ x = f = - \ en \ x = -
- Étape 6 : L'erreur classique :
Répondre que le maximum de f vaut 3 - {3} 0{,}68, parce que c'est là que f' s'annule en passant de + à -. Ce n'est qu'un maximum local : la fonction remonte ensuite jusqu'à 3{,}14. Autre piège, en b) : diviser par -2 sans changer le sens, et obtenir x 1{2} — tout ton tableau de variations serait alors inversé.
À retenir :
Sur un intervalle fermé, le maximum se cherche parmi les maximums locaux et les valeurs aux bornes : on les compare, on ne choisit pas au jugé. Et une fonction impaire n'a besoin d'être étudiée que sur [0\,;\,] : la symétrie par rapport à l'origine donne le reste.