Deux inéquations en sinus

Énoncé

Résoudre sur [-\,;\,] les inéquations suivantes : a) x > 1{2} b) 2 x + 3 0

Indice : Pour une inéquation en sinus, trace la droite horizontale d'ordonnée voulue : x a correspond aux points du cercle situés sur cette droite ou au-dessus.

Correction

1. Étape 1 : Même démarche que pour le cosinus, mais avec une droite horizontale : le sinus est une ordonnée, tu le lis donc sur l'axe vertical. Résoudre une inéquation en sinus sur un tour : 1. Isoler x. 2. Résoudre l'équation associée x = a : ses solutions sont et - , à ramener dans [-\,;\,]. 3. Garder l'arc au-dessus de la droite d'ordonnée a pour x > a, sur la droite ou au-dessus pour x a — et de même en dessous pour x < a et x a. 4. Écrire cet arc à l'aide d'intervalles de [-\,;\,] : s'il passe par le point (-1\,;\,0), image de - et de , il se coupe en deux. Les crochets se décident à la fin : ouverts si l'inégalité est stricte (les frontières ne sont pas solutions), fermés si elle est large.
2. Étape 2 : a) Équation associée : x = 1{2}. On reconnaît {6} = 1{2}, donc = {6}, et l'autre solution est - {6} = 5{6}. Les deux sont dans [-\,;\,]. Les points d'ordonnée strictement supérieure à 1{2} forment l'arc du haut, entre M({6}) et M(5{6}), qui passe par J, image de {2}. Cet arc ne contient pas le point (-1\,;\,0) : il s'écrit en un seul intervalle, ouvert car l'inégalité est stricte.

   S_a = ]{6}\,;\,5{6}[

3. Étape 3 : b) On isole le sinus, en divisant par 2 > 0 : 2 x + 3 0 x -{3}{2} Équation associée : x = -{3}{2}. Le sinus étant impair, (-{3}) = -{3} = -{3}{2}, donc = -{3}. L'autre famille donne - (-{3}) = 4{3}, qui dépasse : on lui retire un tour, 4{3} - 2 = -2{3}. Les deux frontières sont donc -2{3} et -{3}, toutes deux dans la moitié basse du cercle — cohérent avec un sinus négatif.

   x = -{3}{2} x = -2{3} \ ou \ x = -{3}

4. Étape 4 : On garde les points situés sur la droite horizontale d'ordonnée -{3}{2} -0{,}87 ou au-dessus. C'est presque tout le cercle : seul le petit arc du bas, entre M(-2{3}) et M(-{3}), est exclu. Il contient le point le plus bas du cercle, image de -{2}, où le sinus vaut -1. L'arc solution, lui, passe par le point (-1\,;\,0), image de - et de : sur [-\,;\,], il se coupe en deux morceaux. Les crochets sont fermés, l'inégalité étant large.

   S_b = [-\,;\,-2{3}] [-{3}\,;\,]

5. Étape 5 : Contrôle par un point de chaque morceau, puis par un point exclu : - x = - : (-) = 0 -{3}{2} ✓ ; - x = 0 : 0 = 0 -{3}{2} ✓ ; - x = -{2}, exclu : (-{2}) = -1 < -{3}{2}, donc ce n'est bien pas une solution ✓. Les trois tests confirment la réponse.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Appliquer la règle du cosinus à l'équation associée de b), et prendre {3} comme frontières. Tu aboutis alors, par exemple, à S = [-{3}\,;\,{3}], qui oublie x = {2} — or {2} = 1 est bien supérieur à -{3}{2}. Pour le sinus, les deux frontières sont symétriques par rapport à l'axe vertical : ce sont et - . À retenir : Quand l'arc à garder est le « grand » arc, il est plus simple de repérer le petit arc exclu, puis de prendre tout le reste. Et sur [-\,;\,], demande-toi toujours si l'arc solution passe par le point (-1\,;\,0) : si oui, il s'écrit en deux morceaux.