Une inéquation en cosinus sur [−π ; π]

Énoncé

Résoudre sur [-\,;\,] l'inéquation 2 x + 2 0.

Indice : Isole x, résous d'abord l'équation associée, puis repère sur le cercle les points situés sur la droite verticale correspondante ou à sa gauche.

Correction

1. Étape 1 : Une inéquation trigonométrique se résout en deux temps : tu trouves d'abord les « frontières » en résolvant l'équation associée, puis tu décides de quel côté se trouvent les solutions. Sur le cercle, ce second temps devient presque visuel. Inéquation cos x ≤ a, lue sur le cercle : Soit a un réel tel que -1 < a < 1, et ]0\,;\,[ tel que = a. Les réels x de [-\,;\,] tels que x a sont ceux dont le point image est sur ou à gauche de la droite verticale d'abscisse a : [formule] Pourquoi deux morceaux ? Sur le cercle, l'arc solution est d'un seul tenant : il passe par le point (-1\,;\,0). Mais ce point est l'image à la fois de - et de , les deux bornes de l'intervalle — l'arc s'y « coupe » en deux.
2. Étape 2 : On isole le cosinus. On retranche 2 aux deux membres, puis on divise par 2, qui est positif — le sens de l'inégalité ne change donc pas : 2 x + 2 0 2 x -2 x -{2}{2}

   x -{2}{2}

3. Étape 3 : On résout l'équation associée x = -{2}{2}. On part de la valeur remarquable {4} = {2}{2}, et on passe à l'angle supplémentaire, qui change le signe du cosinus puisque ( - x) = - x : 3{4} = ( - {4}) = -{4} = -{2}{2} Comme 3{4} [0\,;\,], on a = 3{4}. Le cosinus étant pair, l'autre solution sur [-\,;\,] est -3{4}.

   x = -{2}{2} x = -3{4} \ ou \ x = 3{4}

4. Étape 4 : On place les deux points sur le cercle, avec la droite verticale d'abscisse -{2}{2} -0{,}71. Les points dont l'abscisse est inférieure ou égale à -{2}{2} forment l'arc situé sur la droite ou à sa gauche : de M(3{4}) à M(-3{4}), en passant par le point (-1\,;\,0). En restant dans [-\,;\,], cet arc se décrit en deux morceaux : de - à -3{4}, puis de 3{4} à . Les bornes 3{4} sont incluses, car l'inégalité est large.

   S = [-\,;\,-3{4}] [3{4}\,;\,]

5. Étape 5 : Deux contrôles, qui ne coûtent rien : - x = est dans S, et en effet 2 + 2 = -2 + 2 -0{,}59 0 ✓ ; - x = 0 n'est pas dans S, et en effet 2 0 + 2 = 2 + 2 > 0 ✓. La courbe du cosinus le confirme : elle croît de -1 à 1 sur [-\,;\,0], puis décroît de 1 à -1 sur [0\,;\,]. Elle n'est donc sous la droite y = -{2}{2} qu'« aux deux bouts » de l'intervalle — exactement les deux morceaux trouvés.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire S = [3{4}\,;\,5{4}] : tu décris bien l'arc de gauche du cercle, mais avec 5{4} > , donc hors de l'intervalle demandé. Autre erreur fréquente : garder le mauvais côté de la droite, et répondre [-3{4}\,;\,3{4}]. Ton intervalle contient alors 0 — or 0 = 1 n'est certainement pas inférieur à -{2}{2}. À retenir : Équation d'abord, côté ensuite, et un point test pour finir. Sur [-\,;\,], et pour -1 < a < 1 : x a donne toujours deux morceaux collés aux bornes, [-\,;\,-] [\,;\,], tandis que x a donne un seul morceau centré en 0, [-\,;\,].