Résoudre deux équations cos x = a sur [0 ; 2π]

Énoncé

Résoudre sur [0\,;\,2] les équations suivantes : a) x = {2}{2} b) x = -1{2}

Indice : Pour x = a, cherche un angle tel que = a : si a < 0, pars de l'angle remarquable dont le cosinus vaut |a| et passe à son supplémentaire, puisque ( - x) = - x. Écris ensuite x = + 2k, puis garde les valeurs de [0\,;\,2].

Correction

1. Étape 1 : Deux équations en cosinus, avec la même méthode et une difficulté qui monte : la seconde porte sur une valeur négative, donc l'angle de référence ne sera pas un angle remarquable direct. Résoudre x = a sur un intervalle : 1. Trouver un angle tel que = a. 2. Écrire les deux familles : x = + 2k ou x = - + 2k. 3. Faire varier k et ne garder que ce qui tombe dans l'intervalle. Le filtrage de l'étape 3 est celui que tu risques de bâcler. Une valeur négative comme -{4} n'est pas solution sur [0\,;\,2], mais sa famille n'est pas à jeter : en lui ajoutant 2, on obtient 7{4}, qui l'est — c'est le même point du cercle.
2. Étape 2 : a) On reconnaît {4} = {2}{2}, donc l'équation s'écrit x = {4}, d'où : x = {4} + 2k ou x = -{4} + 2k
3. Étape 3 : Filtrage sur [0\,;\,2] : - première famille, k = 0 : x = {4} ✓ - seconde famille, k = 0 : x = -{4}, qui est hors de l'intervalle. On ne jette pas sa famille pour autant : avec k = 1, elle donne -{4} + 2 = 7{4} ✓ S = \{{4}\,;\,7{4}\} Contrôle par le cercle : les deux angles sont symétriques par rapport à l'axe horizontal, l'un dans le premier quadrant, l'autre dans le quatrième — là où le cosinus est positif. ✓

   S = \{{4}\,;\,7{4}\}

4. Étape 4 : b) La valeur est négative. On part de l'angle remarquable {3}, dont le cosinus vaut 1{2}, et on passe au supplémentaire pour retourner le signe : -1{2} = -{3} = ( - {3}) = 2{3} D'où x = 2{3} + 2k ou x = -2{3} + 2k.
5. Étape 5 : Filtrage sur [0\,;\,2] : - x = 2{3} ✓ (pour k = 0) - x = -2{3} est hors intervalle ; avec k = 1 : -2{3} + 2 = 4{3} ✓ S = \{2{3}\,;\,4{3}\} Contrôle : 2{3} est dans le deuxième quadrant et 4{3} dans le troisième — les deux quadrants de gauche, où l'abscisse est négative. C'est bien ce qu'on cherchait. ✓

   S = \{2{3}\,;\,4{3}\}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Placer les solutions dans des quadrants où le cosinus a le signe opposé à celui demandé. Tu cherches un cosinus négatif et tu réponds {3} et 5{3}, qui sont à droite du cercle : leur cosinus vaut +1{2}. Ton calcul a l'air correct, ta réponse ne l'est pas. À retenir : Un cosinus négatif place ses solutions dans les deux quadrants de gauche ; un cosinus positif, dans les deux de droite. Ce contrôle est indépendant du calcul, donc il attrape les erreurs que la relecture ne voit pas. Et n'abandonne jamais une famille de solutions parce que sa valeur pour k = 0 sort de l'intervalle : essaie k = 1 et k = -1 avant de conclure.