Résoudre une équation en cosinus

Énoncé

Résoudre sur [-\,;\,] l'équation x = -{3}{2}.

Indice : Pars de l'angle remarquable dont le cosinus vaut {3}{2}, puis passe à son supplémentaire, puisque ( - x) = - x : tu obtiens un angle tel que = -{3}{2}.

Correction

1. Étape 1 : Sur R, une équation comme x = a n'a jamais une seule solution : dès qu'elle en a une, elle en a une infinité, puisque le cercle se parcourt indéfiniment — les solutions viennent par familles. Sur un intervalle comme [-\,;\,], il n'en reste qu'un petit nombre, et tu dois les trouver toutes. La méthode tient en trois temps. Résoudre x = a : 1. Reconnaître un angle tel que = a, en s'appuyant sur les valeurs remarquables et les angles associés. 2. Appliquer la règle : x = x = + 2k ou x = - + 2k, avec k entier relatif. 3. Filtrer en gardant les solutions qui tombent dans l'intervalle demandé. La raison des deux familles se voit sur le cercle : une abscisse strictement comprise entre -1 et 1 correspond à deux points, symétriques par rapport à l'axe horizontal. Ce sont les points images de et de -.
2. Étape 2 : On sait que {6} = {3}{2}. Pour obtenir l'opposé, on passe à l'angle supplémentaire, qui retourne le signe du cosinus : -{3}{2} = -{6} = ( - {6}) = 5{6} L'équation devient donc x = 5{6} : on prend = 5{6}.
3. Étape 3 : On applique la règle du cosinus : x = 5{6} + 2k ou x = -5{6} + 2k
4. Étape 4 : Il reste à filtrer sur [-\,;\,]. Comme 5{6} 2{,}62 et 3{,}14, les deux valeurs obtenues pour k = 0 conviennent : x = 5{6} et x = -5{6} Pour k = 1 on obtiendrait 17{6} et 7{6}, tous deux au-delà de ; pour k = -1, on sortirait par le bas. Il n'y a donc que deux solutions.

   S = \{-5{6}\,;\,5{6}\}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Te contenter du premier angle trouvé et répondre S = \{5{6}\} : tu perds -5{6}. Une équation en cosinus a deux solutions par tour dès que la valeur cherchée est strictement comprise entre -1 et 1 : les deux points du cercle situés sur la même droite verticale (même abscisse), l'un au-dessus de l'axe des abscisses, l'autre en dessous. À retenir : Dessine le cercle et trace la droite verticale d'abscisse a : si -1 < a < 1, elle coupe le cercle en deux points, et chacun donne une solution. Ce dessin de trois secondes rend l'oubli impossible. Quand a = 1 ou a = -1, la droite devient tangente au cercle et les deux points se confondent — mais un point peut encore donner deux solutions : sur [-\,;\,], le point (-1\,;\,0) est l'image de - et de , donc x = -1 y a deux solutions ; seule x = 1 n'en a qu'une, x = 0.