Un ressort qui oscille

Énoncé

Une masse accrochée à un ressort oscille horizontalement. Sa position, en centimètres, par rapport au point d'équilibre est donnée à l'instant t (en secondes) par : [formule] La vitesse de la masse, en cm/s, est la dérivée v(t) = x'(t). a) Calculer v(t). b) Calculer la position et la vitesse à l'instant t = 0. Interpréter le signe de v(0). c) Montrer que la fonction x est périodique de période . Que représente cette période ? d) Déterminer les instants de [0\,;\,] où la vitesse est nulle, et la position de la masse à ces instants.

Indice : La dérivée de t (at + b) est t -a(at + b). Pour d), X = 0 exactement lorsque X est un multiple de .

Correction

1. Étape 1 : Une oscillation se modélise par un cosinus (ou un sinus) dont l'argument dépend du temps : x(t) = A( t + ). Commence par repérer les trois paramètres : ici l'amplitude vaut A = 4, la pulsation = 2 et la phase à l'origine = {3}. La vitesse est la dérivée de la position : tout l'exercice repose sur la dérivée d'un cosinus composé, que tu dois savoir écrire sans hésiter. Dérivée et période de cos(at + b) : Pour tous réels a et b, d'après la dérivée d'une fonction composée : [formule] Et si a 0, la fonction t (at + b) est périodique de période 2{|a|}. Garde en tête que le signe de la vitesse a un sens physique : v(t) > 0 quand la masse se déplace vers les positions croissantes, v(t) < 0 quand elle va dans l'autre sens.
2. Étape 2 : a) x(t) est égal à 4 fois une fonction de la forme (at + b), avec a = 2 et b = {3}. Donc : v(t) = 4 (-2(2t + {3})) v(t) = -8(2t + {3})

   v(t) = -8(2t + {3})

3. Étape 3 : b) À t = 0, l'argument vaut 2 0 + {3} = {3}. Avec les valeurs remarquables {3} = 1{2} et {3} = {3}{2} : x(0) = 4{3} = 4 1{2} = 2 v(0) = -8{3} = -8 {3}{2} = -43 -6{,}93 À l'instant initial, la masse est à 2 cm du point d'équilibre, du côté positif, et sa vitesse est négative : elle se déplace vers les positions décroissantes, donc elle revient vers le point d'équilibre, à environ 6{,}9 cm/s.

   x(0) = 2 v(0) = -43 -6{,}93

4. Étape 4 : c) Il faut montrer que x(t + ) = x(t) pour tout t. On calcule l'argument du cosinus à l'instant t + : 2(t + ) + {3} = 2t + {3} + 2 Avancer de secondes ajoute donc exactement un tour complet à l'argument. Comme le cosinus est périodique de période 2 : x(t + ) = 4(2t + {3} + 2) = 4(2t + {3}) c'est-à-dire x(t + ) = x(t). On retrouve la formule 2{|a|} avec a = 2. Concrètement, 3{,}14 s est la durée d'une oscillation complète : toutes les 3{,}14 secondes, la masse repasse au même endroit, avec la même vitesse.

   T = 2{2} = 3{,}14 s

5. Étape 5 : d) La vitesse est nulle lorsque (2t + {3}) = 0. Or X = 0 exactement lorsque le point image de X est sur l'axe des abscisses, c'est-à-dire pour X = k, avec k Z. Donc : 2t + {3} = k 2t = k - {3} t = k{2} - {6} On cherche les valeurs de t situées dans [0\,;\,] : - k = 0 : t = -{6} < 0, exclu ; - k = 1 : t = {2} - {6} = {3} ✓ ; - k = 2 : t = - {6} = 5{6} ✓ ; - k = 3 : t = 3{2} - {6} = 4{3} > , exclu.

   t = {3} ou t = 5{6}

6. Étape 6 : Positions à ces deux instants : x({3}) = 4(2{3} + {3}) = 4 = -4 x(5{6}) = 4(5{3} + {3}) = 4(2) = 4 La vitesse s'annule exactement quand la masse est à 4 cm du point d'équilibre, d'un côté puis de l'autre : ce sont les deux positions extrêmes, où la masse s'arrête avant de repartir en sens inverse. Comme -1 1, la position reste toujours entre -4 et 4 : l'amplitude du mouvement est bien 4 cm.

   x({3}) = -4 x(5{6}) = 4

7. Étape 7 : L'erreur classique : Dériver 4(2t + {3}) en -4(2t + {3}), sans le facteur 2. Tu trouves alors v(0) = -23 -3{,}46 cm/s, une vitesse deux fois trop faible. Physiquement, ce facteur 2 est la pulsation : la masse oscille deux fois plus vite qu'avec un simple t, donc elle va deux fois plus vite. À retenir : Pour x(t) = A( t + ) avec > 0 : la vitesse est v(t) = -A( t + ), la période est 2{}, et la vitesse s'annule aux positions extrêmes A. Pour résoudre une équation en t + , résous-la d'abord en X = t + , reviens ensuite à t, et ne filtre sur l'intervalle demandé qu'à la toute fin.