Dériver des fonctions trigonométriques

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur R : a) f(x) = 3 x - 2 x b) g(x) = (3x - {4}) c) h(x) = x x d) k(x) = x{2 + x}

Indice : ' = et ' = -. Pour b), pense à la dérivée de (ax + b) ; pour c) et d), aux règles du produit et du quotient.

Correction

1. Étape 1 : Quatre fonctions, quatre règles différentes : ton vrai travail est de reconnaître la forme de chaque expression avant de dériver. Les formules propres au chapitre sont courtes, mais elles se combinent avec tout ce que tu sais déjà. Les dérivées à connaître : [formule] Et, d'après la dérivée d'une fonction composée, pour tous réels a et b : [formule] [formule] À côté, les règles habituelles : (uv)' = u'v + uv' et (u{v})' = u'v - uv'{v^2}. Le signe « moins » n'apparaît qu'en dérivant un cosinus : c'est là que tu risques le plus de te tromper.
2. Étape 2 : a) f(x) = 3 x - 2 x est une somme de multiples de x et de x : on dérive terme à terme. f'(x) = 3 x - 2 (- x) = 3 x + 2 x Le -2 placé devant x rencontre le « moins » de la dérivée du cosinus : deux signes « moins » donnent un « plus ».

   f'(x) = 3 x + 2 x

3. Étape 3 : b) g(x) = (3x - {4}) est de la forme (ax + b), avec a = 3 et b = -{4}. C'est une fonction composée : on dérive l'« extérieur » ( devient -, en gardant l'intérieur tel quel), puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur x 3x - {4}, qui vaut 3 : g'(x) = 3 (-(3x - {4})), soit : g'(x) = -3(3x - {4})

   g'(x) = -3(3x - {4})

4. Étape 4 : c) h(x) = x x est un produit uv, avec u(x) = x et v(x) = x, donc u'(x) = 1 et v'(x) = - x : h'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 1 x + x (- x) D'où h'(x) = x - x x.

   h'(x) = x - x x

5. Étape 5 : d) k(x) = x{2 + x} est un quotient u{v}. Il est bien défini sur R : comme x -1, on a 2 + x 1 > 0, donc le dénominateur ne s'annule jamais. Avec u(x) = x, u'(x) = x, v(x) = 2 + x et v'(x) = - x, on calcule d'abord le numérateur u'v - uv' : u'v - uv' = x\,(2 + x) - x (- x) = 2 x + ^2 x + ^2 x On reconnaît ^2 x + ^2 x = 1, ce qui simplifie : u'v - uv' = 2 x + 1. Donc : k'(x) = 2 x + 1{(2 + x)^2}

   k'(x) = 2 x + 1{(2 + x)^2}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier le facteur 3 en b), et écrire g'(x) = -(3x - {4}). Ta réponse dérive alors le cosinus, mais pas ce qu'il y a dedans. Pour t'en apercevoir : 3x - {4} varie trois fois plus vite que x, donc g oscille trois fois plus vite que le cosinus — ses pentes doivent être trois fois plus fortes. À retenir : Avant de dériver, nomme la forme : somme, produit, quotient, ou (ax + b). Ensuite seulement, applique la règle. Et dès que ^2 x et ^2 x apparaissent côte à côte, pense à ^2 x + ^2 x = 1 : c'est presque toujours elle qui simplifie.