Parité et périodicité lues sur les courbes

Énoncé

On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction cosinus sur [-2\,;\,2]. On rappelle que {3} = 1{2} et {6} = 1{2}. a) Quelle symétrie de la courbe traduit l'égalité (-x) = x ? En déduire (-{3}). b) Quelle transformation de la courbe traduit l'égalité (x + 2) = x ? En déduire 7{3} et (-5{3}). c) La fonction sinus est impaire. Quelle symétrie possède sa courbe ? Calculer (-{6}), puis (-13{6}).

Indice : Paire : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Périodique de période 2 : la courbe se répète quand on avance de 2. Impaire : symétrie par rapport à l'origine.

Correction

1. Étape 1 : Cet exercice relie deux écritures d'une même propriété : une égalité entre nombres, et une symétrie (ou une répétition) de la courbe. Savoir passer de l'une à l'autre, c'est ce qui te permet de calculer des valeurs que tu ne connais pas à partir de celles que tu connais. Parité, périodicité et courbes : - f est paire si f(-x) = f(x) pour tout x : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - f est impaire si f(-x) = -f(x) pour tout x : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. - f est périodique de période T si f(x + T) = f(x) pour tout x : sa courbe est inchangée par la translation de T parallèlement à l'axe des abscisses. Le cosinus est pair, le sinus est impair, et tous deux sont périodiques de période 2. Pour calculer une valeur « inconnue », cherche donc à la ramener à une valeur remarquable : en changeant de signe (parité), ou en retirant des tours complets (périodicité).
2. Étape 2 : a) L'égalité (-x) = x dit que les points de la courbe d'abscisses x et -x sont à la même hauteur. Ces deux points sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : la courbe du cosinus admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. Avec x = {3}, on obtient, puisque le cosinus est pair : (-{3}) = {3} = 1{2} Sur la figure, les deux points marqués en -{3} et en {3} sont bien à la même hauteur.

   (-{3}) = 1{2}

3. Étape 3 : b) L'égalité (x + 2) = x dit que la courbe reprend la même valeur quand on avance de 2 : elle est inchangée par la translation de 2 parallèlement à l'axe des abscisses. Le motif tracé sur [-\,;\,] se répète à l'identique. On ramène donc chaque réel près de 0 en lui retirant (ou en lui ajoutant) un tour complet. Pour trouver le bon décalage, on écrit 2 avec le même dénominateur : 2 = 6{3}. 7{3} = {3} + 6{3} = {3} + 2, donc 7{3} = {3} = 1{2}. -5{3} = {3} - 6{3} = {3} - 2, donc (-5{3}) = {3} = 1{2}. Sur la figure, le point marqué en -5{3} est bien à la même hauteur que celui de {3}, un « motif » plus à gauche.

   7{3} = (-5{3}) = 1{2}

4. Étape 4 : c) Le sinus étant impair, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O : le point d'abscisse -x est le symétrique, par rapport à O, du point d'abscisse x — à la même distance de l'axe des abscisses, mais de l'autre côté. Avec x = {6} : (-{6}) = -{6} = -1{2} Pour -13{6}, on combine les deux propriétés. Comme -13{6} = -{6} - 12{6} = -{6} - 2, la périodicité puis l'imparité donnent : (-13{6}) = (-{6}) = -1{2}

   (-13{6}) = -1{2}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Réduire un réel en lui retirant au lieu de 2. Par exemple, tu écris 7{3} - = 4{3}, puis tu réponds 7{3} = 4{3} = -1{2} : c'est faux, car un demi-tour envoie le point image à l'opposé du cercle, ce qui change le signe du cosinus. La période est 2, pas . À retenir : Devant un réel « trop grand » ou négatif, deux gestes, dans cet ordre : retirer ou ajouter des tours complets (2, 4…) pour revenir près de 0, puis utiliser la parité pour se ramener à un réel positif. Sur la courbe, ce sont une translation et une symétrie ; sur le cercle, c'est le même point, ou son symétrique par rapport à l'axe des abscisses.