Méthode d'Euler et valeur approchée de e

Énoncé

La fonction exponentielle vérifie exp' = exp et exp(0) = 1. La méthode d'Euler en construit une approximation pas à pas : on part du point (0 ; 1) et, avec un pas h > 0, on avance chaque fois en suivant la tangente. a) Justifier que, si yₖ est la valeur approchée de exp(kh), l'approximation linéaire conduit à yₖ₊₁ = (1 + h) yₖ. Quelle est la nature de la suite (yₖ) ? b) Avec h = 0,5, calculer les valeurs approchées obtenues pour exp(0,5) et pour exp(1). c) Avec h = 1/n, montrer que la valeur approchée de e = exp(1) obtenue après n pas est (1 + 1/n)ⁿ. d) On considère le programme suivant. ```python def approx_e(n): return pow(1 + 1 / n, n) for n in [1, 10, 100, 1000]: print(n, approx_e(n)) ``` Il affiche les lignes `1 2.0`, `10 2.5937424601000023`, `100 2.7048138294215285` et `1000 2.7169239322355936`. Que peut-on conjecturer ? Comparer à e ≈ 2,718 28.

Indice : Approximation linéaire : exp(x + h) ≈ exp(x) + exp'(x) h, et exp' = exp.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. On ne sait pas calculer exp(x) « à la main », mais on connaît sa pente en tout point : elle est égale à la valeur de la fonction. La méthode d'Euler suit la tangente sur un petit pas, puis recommence depuis le point atteint. Approximation linéaire : f(x + h) ≈ f(x) + f'(x) h. Pour f = exp, f' = f, donc exp(x + h) ≈ (1 + h)exp(x). 👉 Multiplier par le même nombre à chaque pas, c'est construire une suite géométrique : c'est le lien entre l'exponentielle et les suites géométriques.
2. Étape 2 : a) On approche exp(kh) par yₖ. Un pas de longueur h le long de la tangente, dont la pente est exp(kh) ≈ yₖ, conduit à yₖ₊₁ = yₖ + yₖ × h = (1 + h) yₖ. Avec y₀ = exp(0) = 1, la suite (yₖ) est donc géométrique, de premier terme 1 et de raison 1 + h : yₖ = (1 + h)ᵏ.

   yₖ₊₁ = (1 + h) yₖ ; yₖ = (1 + h)ᵏ

3. Étape 3 : b) Avec h = 0,5 : y₁ = 1,5 approche exp(0,5), et y₂ = 1,5² = 2,25 approche exp(1) = e. La calculatrice donne exp(0,5) ≈ 1,649 et e ≈ 2,718 : avec un pas aussi grand, l'approximation est grossière. Elle est par défaut : à chaque pas, la méthode multiplie par 1 + h, alors que la vraie valeur est multipliée par eʰ, puisque exp(x + h) = exp(x) × eʰ, et eʰ ≥ 1 + h (leçon 3).

   exp(0,5) ≈ 1,5 ; e ≈ 2,25

4. Étape 4 : c) Pour aller de 0 à 1 avec un pas h = 1/n, il faut n pas. D'après a), la valeur obtenue est yₙ = (1 + h)ⁿ = (1 + 1/n)ⁿ.

   e ≈ (1 + 1/n)ⁿ

5. Étape 5 : d) Les valeurs affichées, 2 ; 2,594 ; 2,705 ; 2,717, augmentent et se rapprochent de e ≈ 2,718 28. On conjecture donc que (1 + 1/n)ⁿ se rapproche de e quand n devient grand. La convergence est lente : avec n = 1 000, l'écart est encore d'environ 0,001.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Ajouter h à chaque pas au lieu de multiplier par 1 + h, c'est-à-dire écrire yₖ₊₁ = yₖ + h, comme si la pente valait toujours 1. On obtiendrait 2 pour e avec h = 0,5, et une droite au lieu d'une exponentielle. La pente de l'exponentielle est y lui-même : c'est elle qui fait apparaître le facteur 1 + h. Autre confusion : prendre (1 + 1/n)ⁿ pour e lui-même. Ce n'en est qu'une valeur approchée, qui s'améliore quand n grandit. À retenir : Méthode d'Euler pour exp : yₖ₊₁ = (1 + h) yₖ, une suite géométrique de raison 1 + h. Avec h = 1/n, on obtient e ≈ (1 + 1/n)ⁿ.