Type Bac — Sujet 0 Première 2026 (exercice 3 adapté)

Énoncé

Soit f la fonction définie sur R par : [formule] 1) Calculer f'(x) et la factoriser par e^x et par un polynôme du second degré. 2) Démontrer que f'(x) peut se mettre sous la forme (x^2 - 2)\,e^x. 3) Étudier le signe de f'(x) sur R (on pourra utiliser 2 1{,}414). 4) Dresser le tableau de variations de f. 5) Calculer f(2) et f(-2). Préciser leur signe.

Indice : Pour la question 1, u(x) = x^2 - 2x donc u'(x) = 2x - 2. Pour le signe en question 3, utiliser que e^x > 0 et factoriser x^2 - 2 = (x - 2)(x + 2).

Correction

1. Étape 1 : **Dérivée brute** : u = x^2 - 2x, u' = 2x - 2. v = e^x, v' = e^x. f'(x) = (2x - 2)\,e^x + (x^2 - 2x)\,e^x = e^x[(2x - 2) + (x^2 - 2x)].

   f'(x) = e^x[(2x - 2) + (x^2 - 2x)]

2. Étape 2 : **Simplification** : (2x - 2) + (x^2 - 2x) = x^2 - 2. Donc f'(x) = (x^2 - 2)\,e^x.

   f'(x) = (x^2 - 2)\,e^x

3. Étape 3 : **Signe** : e^x > 0, donc signe de (x^2 - 2) = (x - 2)(x + 2). Le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines : f'(x) > 0 x < -2 ou x > 2. f'(x) < 0 -2 < x < 2.

   f'(x) > 0 |x| > 2

4. Étape 4 : **Variations** : f croissante sur ]-\,;\,-2], décroissante sur [-2\,;\,2], croissante sur [2\,;\,+[. **Maximum local** en x = -2, **minimum local** en x = 2.

   f

5. Étape 5 : **Valeurs aux extrema** : f(2) = (2 - 22)\,e^{2}. Comme 2 - 22 = 2(1 - 2) < 0 (car 2 > 1) et e^{2} > 0, f(2) < 0 : **minimum local strictement négatif**. De même f(-2) = (2 + 22)\,e^{-2} > 0 : **maximum local strictement positif**.

   f(2) < 0,\; f(-2) > 0