Type Bac — Sujet 0 Première 2026 (exercice 3 adapté)
Énoncé
Soit f la fonction définie sur R par :
[formule]
1) Calculer f'(x) et la factoriser par e^x et par un polynôme du second degré.
2) Démontrer que f'(x) peut se mettre sous la forme (x^2 - 2)\,e^x.
3) Étudier le signe de f'(x) sur R (on pourra utiliser 2 1{,}414).
4) Dresser le tableau de variations de f.
5) Calculer f(2) et f(-2). Préciser leur signe.
Indice : Pour la question 1, u(x) = x^2 - 2x donc u'(x) = 2x - 2. Pour le signe en question 3, utiliser que e^x > 0 et factoriser x^2 - 2 = (x - 2)(x + 2).
Correction
- Étape 1 : Un sujet de bac complet, où chaque question prépare la suivante. Le fil est la méthode en quatre temps déjà rencontrée, avec une nuance décisive : ici la dérivée change de signe deux fois, donc les extrema seront locaux et non globaux.
👉 Et la question 2 est un exercice de rédaction déguisé. « Démontrer que f'(x) peut se mettre sous la forme (x^2-2)e^x » signifie que le résultat est donné : ce qui est noté, c'est le passage qui y mène, pas la réponse.
Autrement dit, on n'a pas le droit d'écrire directement la forme finale — il faut montrer le calcul qui la produit.
- Étape 2 : 1) La dérivée brute. u(x) = x^2 - 2x donc u'(x) = 2x - 2 ; v(x) = e^x donc v'(x) = e^x.
f'(x) = (2x - 2)\,e^x + (x^2 - 2x)\,e^x
On factorise par e^x, commun aux deux termes :
[formule]
f'(x) = e^x[(2x-2) + (x^2-2x)]
- Étape 3 : 2) La simplification demandée. On développe le crochet en regroupant :
(2x - 2) + (x^2 - 2x) = x^2 + 2x - 2x_{= \, 0} - 2 = x^2 - 2
Les termes en x s'annulent exactement, et il reste
[formule]
ce qui est bien la forme annoncée par l'énoncé.
f'(x) = (x^2-2)\,e^x
- Étape 4 : 3) Le signe. Comme e^x > 0, le signe de f'(x) est celui de x^2 - 2, qu'on factorise :
x^2 - 2 = (x - 2)(x + 2)
Un trinôme de coefficient dominant positif est positif à l'extérieur de ses racines :
f'(x) > 0 x < -2 ou x > 2, et f'(x) < 0 -2 < x < 2
avec 2 1{,}414.
4) Les variations.
| x | - | | -2 | | 2 | | + |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |
| f(x) | | | | | | | |
f admet un maximum local en -2 et un minimum local en 2.
f'(x) > 0 |x| > 2
- Étape 5 : 5) Les valeurs aux extrema. On remplace, en se rappelant que (2)^2 = 2 :
f(2) = (2 - 22)\,e^{2}
Son signe se lit sans calculatrice : 2 - 22 = 2(1 - 2), et 2 1{,}414 > 1 donc 1 - 2 < 0. Comme e^{2} > 0, le produit est négatif ( -3{,}41).
f(-2) = (2 + 22)\,e^{-2}
Ici 2 + 22 > 0 et e^{-2} > 0, donc le produit est positif ( 1{,}17).
👉 Le minimum local est négatif, le maximum local positif : la courbe traverse donc l'axe des abscisses, ce qui se confirme en résolvant f(x) = 0 x^2 - 2x = 0 x = 0 ou x = 2.
f(2) < 0 ; f(-2) > 0
- Étape 6 : L'erreur classique :
Annoncer un maximum ou un minimum global là où la dérivée change de signe deux fois.
Le tableau le refuse : après 2, f croît de nouveau et finit par dépasser toute valeur, donc le « maximum » en -2 n'est que local. De même, f décroît vers - avant -2, donc le minimum en 2 n'est pas global non plus.
À retenir :
Compter les changements de signe de la dérivée avant de qualifier un extremum :
un seul changement extremum global ;
plusieurs extrema locaux, et il faut le préciser.
👉 Et sur une question « démontrer que f' peut se mettre sous la forme… », le résultat étant donné, c'est le passage qui est noté. Écrire la forme finale sans le calcul ne rapporte rien.