Refroidissement (loi de Newton)

Énoncé

La température d'un café dans une pièce à 20\,°C est modélisée par : [formule] où t est en minutes. 1) Donner la température initiale. 2) Étudier le sens de variation de T sur [0\,;\,+[. 3) On donne e^{-1} 0{,}368. Calculer T(10) arrondi au degré. 4) On admet que _{t +} e^{-0{,}1\,t} = 0. En déduire la température limite du café.

Indice : Pour la dérivée, applique (e^{-0{,}1\,t})' = -0{,}1\,e^{-0{,}1\,t}. Pour le sens de variation, étudier le signe.

Correction

1. Étape 1 : Même structure que l'exercice précédent, mais avec une décroissance et surtout une limite. Le point à voir avant de calculer : la fonction n'est pas de la forme A\,e^{kt}, mais [formule] Lire un modèle A + B\,e^{-kt} : A est la valeur limite : l'exponentielle tend vers 0, il ne reste que A. A + B est la valeur initiale : en t = 0 l'exponentielle vaut 1. B est donc l'écart initial à combler. 👉 Ici A = 20 (la température de la pièce) et B = 60 (les 60 °C d'écart au départ) : on peut annoncer les réponses aux questions 1 et 4 avant tout calcul, ce qui donne un contrôle sur le reste.
2. Étape 2 : 1) Température initiale. T(0) = 20 + 60\,e^{-0{,}1 0} = 20 + 60\,e^0 = 20 + 60 = 80\,°C Conforme à la lecture A + B annoncée ci-dessus.

   T(0) = 80\,°C

3. Étape 3 : 2) Sens de variation. La constante 20 disparaît en dérivant (c'est une constante additive), et le 60 se conserve : T'(t) = 60 (-0{,}1)\,e^{-0{,}1t} = -6\,e^{-0{,}1t} Or e^{-0{,}1t} > 0 pour tout t, donc T'(t) < 0 sur [0\,;\,+[. La fonction T est strictement décroissante : le café refroidit — ce qui était attendu, et sert de contrôle.

   T'(t) = -6\,e^{-0{,}1t} < 0

4. Étape 4 : 3) Température à 10 minutes. L'exposant vaut -0{,}1 10 = -1 : T(10) = 20 + 60\,e^{-1} 20 + 60 0{,}368 20 + 22{,}1 42\,°C 4) Limite. Quand t +, on admet e^{-0{,}1t} 0, donc T(t) 20 + 60 0 = 20\,°C Le café tend vers la température ambiante, sans jamais l'atteindre exactement — puisque l'exponentielle ne s'annule jamais. C'est bien la valeur A annoncée dès l'entrée.

   T(10) 42\,°C ; _{t +} T(t) = 20\,°C

5. Étape 5 : L'erreur classique : Traiter la constante 20 comme si elle dépendait de t : soit en la dérivant (elle disparaît, elle ne devient pas 20), soit en l'oubliant dans le calcul de T(10) — on trouverait alors 22 °C au lieu de 42 °C. Une constante additive disparaît à la dérivation et se conserve dans les valeurs. C'est exactement l'inverse d'une constante multiplicative comme le 60, qui se conserve à la dérivation. À retenir : Dans un modèle A + B\,e^{-kt} : A est la limite, A + B la valeur initiale, et le signe de B décide si la courbe monte ou descend vers A. 👉 Lire ces deux nombres avant de calculer donne un contrôle sur tout l'exercice : ici, une réponse à la question 4 différente de 20 °C aurait signalé une erreur.