Refroidissement (loi de Newton)

Énoncé

La température d'un café dans une pièce à 20\,°C est modélisée par : [formule] où t est en minutes. 1) Donner la température initiale. 2) Étudier le sens de variation de T sur [0\,;\,+[. 3) On donne e^{-1} 0{,}368. Calculer T(10) arrondi au degré. 4) On admet que _{t +} e^{-0{,}1\,t} = 0. En déduire la température limite du café.

Indice : Pour la dérivée, applique (e^{-0{,}1\,t})' = -0{,}1\,e^{-0{,}1\,t}. Pour le sens de variation, étudier le signe.

Correction

1. Étape 1 : **Initiale** : T(0) = 20 + 60\,e^0 = 20 + 60 = 80\,°C.

   T(0) = 80\,°C

2. Étape 2 : **Dérivée** : T'(t) = 60 (-0{,}1)\,e^{-0{,}1\,t} = -6\,e^{-0{,}1\,t}. Or e^{-0{,}1 t} > 0, donc T'(t) < 0 pour tout t 0. La fonction T est **strictement décroissante** : le café refroidit.

   T'(t) < 0 T

3. Étape 3 : **T(10)** : T(10) = 20 + 60\,e^{-0{,}1 10} = 20 + 60\,e^{-1} 20 + 60 0{,}368 20 + 22{,}1 42\,°C.

   T(10) 42\,°C

4. Étape 4 : **Limite** : quand t +, e^{-0{,}1\,t} 0 (admis), donc T(t) 20 + 60 0 = 20\,°C. Le café tend vers la **température ambiante** 20\,°C (sans jamais l'atteindre).

   _{t +} T(t) = 20\,°C