Population bactérienne (modélisation)

Énoncé

Une population de bactéries est modélisée par N(t) = 500\,e^{0{,}2\,t} où t est le temps en heures et N(t) le nombre de bactéries. 1) Donner la population à t = 0. 2) Calculer la population à t = 5 heures (arrondir à l'entier). 3) Calculer N'(t) et vérifier que N'(t) = 0{,}2\,N(t). 4) Interpréter la relation précédente : à quoi correspond le coefficient 0{,}2 ?

Indice : On donne e 2{,}718 et e^2 7{,}389. Pour la question 3, applique la formule (e^{kt})' = k\,e^{kt}.

Correction

1. Étape 1 : Les trois premières questions sont des calculs directs. C'est la quatrième qui rapporte le plus de points, et c'est celle qu'on bâcle : elle demande d'interpréter une relation, pas de calculer. Cette relation, N'(t) = 0{,}2\,N(t), n'est pas une coïncidence de l'exercice : c'est la propriété qui définit la croissance exponentielle. Ce qui distingue une croissance exponentielle : La vitesse est proportionnelle à ce qui est déjà là. Dans une croissance linéaire, la vitesse est constante : autant de bactéries en plus chaque heure, quelle que soit la population. Dans une croissance exponentielle, plus il y a de bactéries, plus elles se multiplient vite.
2. Étape 2 : 1) Population initiale. N(0) = 500\,e^{0{,}2 0} = 500\,e^0 = 500 bactéries 2) Population à 5 heures. L'exposant vaut 0{,}2 5 = 1, ce qui tombe juste : N(5) = 500\,e^{1} = 500e 500 2{,}718 1\,359 Soit environ 1 359 bactéries — la population a presque triplé en 5 heures.

   N(0) = 500 ; N(5) 1\,359

3. Étape 3 : 3) La dérivée. Le facteur 500 se conserve car c'est une constante multiplicative, et la dérivation fait sortir le coefficient 0{,}2 puisque c'est le coefficient de t dans l'exposant : N'(t) = 500 0{,}2 e^{0{,}2t} = 100\,e^{0{,}2t} Vérifions la relation annoncée : 0{,}2 N(t) = 0{,}2 500\,e^{0{,}2t} = 100\,e^{0{,}2t} = N'(t) ✓ [formule]

   N'(t) = 0{,}2\,N(t)

4. Étape 4 : 4) Interprétation. La relation se réécrit [formule] Autrement dit, la vitesse de croissance rapportée à la population vaut toujours 0{,}2, donc la population augmente à chaque instant proportionnellement à sa taille : c'est le taux instantané de croissance, soit 20 % par heure. ⚠️ Nuance à connaître, et souvent mal comprise. « 20 % par heure » au sens instantané ne veut pas dire que la population est multipliée par 1,2 en une heure. En une heure, elle est multipliée par e^{0{,}2} 1{,}221 soit +22{,}1\% Les deux nombres sont proches, mais distincts — et l'écart grandit avec le taux.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Confondre le taux instantané (k = 0{,}2) et le taux d'accroissement sur une unité de temps (e^{k} - 1 0{,}221). Le second se calcule à partir du premier ; on ne peut pas lire l'un pour l'autre. Sur un modèle à croissance forte, l'écart devient considérable : pour k = 1, le taux réel sur une unité de temps est e - 1 172\%, et non 100 %. À retenir : [formule] caractérise la croissance exponentielle : k est le taux instantané, et le facteur de multiplication sur une unité de temps vaut e^{k}. 👉 C'est cette relation qu'on retrouvera en Terminale sous le nom d'équation différentielle y' = ky.