Population bactérienne (modélisation)

Énoncé

Une population de bactéries est modélisée par N(t) = 500\,e^{0{,}2\,t} où t est le temps en heures et N(t) le nombre de bactéries. 1) Donner la population à t = 0. 2) Calculer la population à t = 5 heures (arrondir à l'entier). 3) Calculer N'(t) et vérifier que N'(t) = 0{,}2\,N(t). 4) Interpréter la relation précédente : à quoi correspond le coefficient 0{,}2 ?

Indice : On donne e 2{,}718 et e^2 7{,}389. Pour la question 3, applique la formule (e^{kt})' = k\,e^{kt}.

Correction

1. Étape 1 : **N(0)** : N(0) = 500\,e^{0{,}2 0} = 500\,e^0 = 500 bactéries.

   N(0) = 500

2. Étape 2 : **N(5)** : N(5) = 500\,e^{0{,}2 5} = 500\,e^1 = 500\,e 500 2{,}718 1{,}359. Soit environ **1 359 bactéries**.

   N(5) 1\,359

3. Étape 3 : **Dérivée** : N'(t) = 500 0{,}2 e^{0{,}2\,t} = 100\,e^{0{,}2\,t}. On vérifie : 0{,}2 N(t) = 0{,}2 500\,e^{0{,}2 t} = 100\,e^{0{,}2 t} = N'(t). ✓

   N'(t) = 0{,}2\,N(t)

4. Étape 4 : **Interprétation** : la vitesse de croissance (N'(t)) est proportionnelle à la population présente (N(t)) avec un coefficient 0{,}2. C'est le **taux instantané de croissance** : à chaque instant, la population augmente de 20\% par unité de temps (taux continu).

   N'(t) / N(t) = 0{,}2 (taux instantané)