Étude de $f(x) = (1 - x)\,e^{x}$

Énoncé

Soit f définie sur R par f(x) = (1 - x)\,e^{x}. 1) Calculer f'(x) et la factoriser par e^x. 2) Étudier le signe de f'(x). 3) Dresser le tableau de variations de f. 4) Calculer f(0). La courbe C_f coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Si oui, en quel(s) point(s) ?

Indice : Pour la question 4, utiliser e^x > 0 pour résoudre f(x) = 0.

Correction

1. Étape 1 : **Dérivée** : u = 1 - x, u' = -1. v = e^x, v' = e^x. f'(x) = -1 e^x + (1 - x) e^x = e^x(-1 + 1 - x) = -x\,e^x.

   f'(x) = -x\,e^x

2. Étape 2 : **Signe** : e^x > 0, donc f'(x) a le signe de -x. f'(x) > 0 x < 0, f'(x) < 0 x > 0, f'(0) = 0.

   f'(x) > 0 x < 0

3. Étape 3 : **Variations** : f croissante sur ]-\,;\,0], décroissante sur [0\,;\,+[. Maximum en x = 0 : f(0) = 1 e^0 = 1.

   f_{} = f(0) = 1

4. Étape 4 : **Zéros** : f(x) = 0 (1 - x)\,e^x = 0. Or e^x > 0, donc f(x) = 0 1 - x = 0 x = 1. La courbe coupe l'axe des abscisses en **un seul point** : (1\,;\,0).

   f(x) = 0 x = 1