Étude de $f(x) = (1 - x)\,e^{x}$

Énoncé

Soit f définie sur R par f(x) = (1 - x)\,e^{x}. 1) Calculer f'(x) et la factoriser par e^x. 2) Étudier le signe de f'(x). 3) Dresser le tableau de variations de f. 4) Calculer f(0). La courbe C_f coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Si oui, en quel(s) point(s) ?

Indice : Pour la question 4, utiliser e^x > 0 pour résoudre f(x) = 0.

Correction

1. Étape 1 : Même méthode que l'exercice précédent, avec deux nouveautés. D'abord un piège de calcul : ici u(x) = 1 - x a une dérivée négative, et c'est ce qui provoque une simplification spectaculaire à l'étape de factorisation. Ensuite une question de plus — chercher où la courbe coupe l'axe des abscisses, c'est-à-dire résoudre f(x) = 0. Là encore, tout repose sur la positivité de l'exponentielle : Un produit avec exponentielle s'annule quand le polynôme s'annule : Comme e^{u(x)} ne s'annule jamais : [formule]
2. Étape 2 : 1) La dérivée. u(x) = 1 - x donc u'(x) = -1 ; v(x) = e^x donc v'(x) = e^x. f'(x) = (-1) e^x + (1-x) e^x = e^x[-1 + (1-x)] Le crochet se simplifie : -1 + 1 - x = -x. [formule] 👉 Les deux « 1 » s'annulent — c'est propre à cet exemple, pas une règle générale. Mais c'est une bonne raison de toujours factoriser avant de conclure : la forme finale est bien plus simple que la somme de départ.

   f'(x) = -x\,e^x

3. Étape 3 : 2) Le signe. Comme e^x > 0, le signe de f'(x) est celui de -x : f'(x) > 0 -x > 0 x < 0, et f'(x) < 0 x > 0. 3) Les variations. f est croissante sur ]-\,;\,0] puis décroissante sur [0\,;\,+[. Le maximum est atteint en x = 0 : f(0) = (1 - 0) e^0 = 1 1 = 1

   f_{} = f(0) = 1

4. Étape 4 : 4) Les points d'intersection avec l'axe des abscisses. Il s'agit de résoudre f(x) = 0 : (1 - x)\,e^x = 0 Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. Or e^x > 0 pour tout x : ce facteur ne peut pas s'annuler. Il reste donc 1 - x = 0 x = 1 La courbe coupe l'axe des abscisses en un seul point : (1\,;\,0). 👉 Cohérent avec le tableau : f atteint son maximum 1 en x = 0, puis décroît et traverse l'axe en x = 1.

   f(x) = 0 x = 1

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire « e^x = 0 ou 1 - x = 0 » puis chercher les solutions de e^x = 0. Cette équation n'a aucune solution : l'exponentielle ne s'annule jamais. Mentionner ce facteur puis l'écarter en le justifiant est la bonne rédaction ; l'oublier ou prétendre le résoudre fait perdre le point. À retenir : [formule] C'est la même propriété qui sert pour le signe et pour les zéros : l'exponentielle est un facteur strictement positif, donc elle ne décide ni de l'un ni des autres. 👉 Et factoriser avant de conclure, même quand la somme paraît simple — c'est là que les simplifications apparaissent.