Étude complète de $f(x) = x\,e^{-x}$

Énoncé

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x\,e^{-x}. 1) Calculer f'(x) et la factoriser par e^{-x}. 2) Étudier le signe de f'(x) sur R. 3) Dresser le tableau de variations de f. 4) En déduire que f admet un maximum sur R et donner sa valeur exacte.

Indice : Utilise la formule du produit (uv)' = u'v + uv' avec u(x) = x et v(x) = e^{-x}. Pour le signe, rappel : e^{-x} > 0 pour tout x.

Correction

1. Étape 1 : C'est le premier exercice où toutes les briques du chapitre servent ensemble. La méthode qui suit ne vaut pas que pour cet exemple : elle vaut pour toute fonction de la forme polynôme exponentielle, c'est-à-dire pour la quasi-totalité des exercices de bac sur ce thème. Étudier P(x)\,e^{u(x)}, en quatre temps : 1. dériver par la formule du produit ; 2. factoriser par l'exponentielle ; 3. étudier le signe du polynôme restant — l'exponentielle étant strictement positive, elle n'y intervient pas ; 4. dresser le tableau et lire les extrema. 👉 L'étape 2 n'est pas un embellissement. Sans elle, on se retrouve à étudier le signe d'une somme de deux termes, ce qu'on ne sait pas faire ; après elle, il ne reste qu'un polynôme du premier degré.
2. Étape 2 : 1) La dérivée. u(x) = x donc u'(x) = 1 ; v(x) = e^{-x} donc v'(x) = -e^{-x}. f'(x) = 1 e^{-x} + x (-e^{-x}) = e^{-x} - x\,e^{-x} On factorise par e^{-x} : [formule]

   f'(x) = (1-x)\,e^{-x}

3. Étape 3 : 2) Le signe. Comme e^{-x} > 0 pour tout x, le signe de f'(x) est celui de 1 - x : f'(x) > 0 1 - x > 0 x < 1 f'(x) < 0 x > 1, et f'(1) = 0. 3) Les variations. | x | - | | 1 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f'(x) | | + | 0 | - | | | f(x) | | | 1{e} | | |

   f'(x) > 0 x < 1

4. Étape 4 : 4) Le maximum. Il est atteint en x = 1 et vaut [formule] C'est un maximum global — et pas seulement local. La raison se lit dans le tableau : f croît sur tout ce qui précède 1 et décroît sur tout ce qui suit, donc aucune valeur ne peut dépasser f(1). ⚠️ L'énoncé demande la valeur exacte : c'est 1{e}. La valeur approchée 0{,}368 la complète mais ne la remplace pas.

   f_{} = f(1) = 1{e}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Annoncer un maximum « local » là où il est global, ou l'inverse. Le tableau tranche, et le critère est simple : la dérivée change de signe une seule fois, donc l'extremum domine toute la courbe. On ne parle de maximum *local* que lorsque la dérivée change de signe plusieurs fois — c'est le cas du dernier exercice du chapitre. À retenir : La méthode en quatre temps : dériver, factoriser par l'exponentielle, étudier le signe du polynôme, dresser le tableau. Et distinguer valeur exacte (1{e}) et valeur approchée (0{,}368) : l'énoncé demande toujours l'une ou l'autre, jamais au hasard.