Étude complète de $f(x) = x\,e^{-x}$

Énoncé

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x\,e^{-x}. 1) Calculer f'(x) et la factoriser par e^{-x}. 2) Étudier le signe de f'(x) sur R. 3) Dresser le tableau de variations de f. 4) En déduire que f admet un maximum sur R et donner sa valeur exacte.

Indice : Utilise la formule du produit (uv)' = u'v + uv' avec u(x) = x et v(x) = e^{-x}. Pour le signe, rappel : e^{-x} > 0 pour tout x.

Correction

1. Étape 1 : **Dérivée** : u(x) = x, u'(x) = 1. v(x) = e^{-x}, v'(x) = -e^{-x}. f'(x) = 1 e^{-x} + x (-e^{-x}) = e^{-x} - x\,e^{-x} = (1 - x)\,e^{-x}.

   f'(x) = (1 - x)\,e^{-x}

2. Étape 2 : **Signe** : e^{-x} > 0 pour tout x, donc f'(x) a le signe de (1 - x). Donc f'(x) > 0 x < 1, f'(x) < 0 x > 1, f'(x) = 0 x = 1.

   f'(x) > 0 x < 1

3. Étape 3 : **Variations** : f est strictement croissante sur ]-\,;\,1] et strictement décroissante sur [1\,;\,+[.

   f sur ]-;1], f sur [1;+[

4. Étape 4 : **Maximum** : atteint en x = 1 et vaut f(1) = 1 e^{-1} = 1{e} 0{,}368. C'est le **maximum global** de f sur R.

   f_{} = f(1) = 1{e}