Équation de tangente à la courbe

Énoncé

Soit f(x) = e^{2x} définie sur R. Déterminer l'équation réduite de la tangente T à la courbe C_f au point d'abscisse a = 0.

Indice : Formule de la tangente : y = f'(a)(x - a) + f(a). Ici a = 0 : commence par calculer f(0) et f'(0).

Correction

1. Étape 1 : Rien de propre à l'exponentielle dans cet exercice : c'est le cours sur la tangente, appliqué à une fonction exponentielle. Une formule, trois calculs, dans cet ordre. Équation de la tangente au point d'abscisse a : [formule] 👉 Le seul risque est d'intervertir f(a) et f'(a). Le repère qui l'évite : f'(a) est le coefficient directeur, donc c'est lui qui multiplie x ; f(a) est l'ordonnée du point de contact.
2. Étape 2 : L'ordonnée du point de contact. f(0) = e^{2 0} = e^0 = 1 Le point de contact est donc (0\,;\,1) : la courbe passe par ce point, et la tangente aussi.

   f(0) = 1

3. Étape 3 : Le coefficient directeur. On dérive avec la formule (e^{ax+b})' = a\,e^{ax+b}, ici a = 2 : f'(x) = 2\,e^{2x} puis on évalue en 0 : f'(0) = 2\,e^0 = 2 La tangente a donc pour pente 2 : elle monte de 2 unités quand x avance de 1.

   f'(0) = 2

4. Étape 4 : L'équation. On remplace dans la formule avec a = 0 : y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 2(x - 0) + 1 = 2x + 1 [formule] 👉 Contrôle immédiat : la tangente doit passer par le point de contact (0\,;\,1). Pour x = 0, l'équation donne y = 2 0 + 1 = 1 ✓

   T : y = 2x + 1

5. Étape 5 : L'erreur classique : Intervertir f(a) et f'(a), et écrire y = 1 (x - 0) + 2 = x + 2. Le contrôle du point de contact le refuse aussitôt : cette droite donnerait y = 2 en x = 0, alors que la courbe y passe à l'ordonnée 1. Une tangente qui ne touche pas la courbe n'est pas une tangente. À retenir : [formule] Et toujours terminer par la vérification « la tangente passe par (a\,;\,f(a)) » : elle coûte une substitution et attrape l'inversion des deux termes, qui est de loin l'erreur la plus fréquente.