Dériver un produit avec exponentielle

Énoncé

Calculer la dérivée et la factoriser par e^x (ou e^{-x}). a) f(x) = (x + 1)\,e^x b) g(x) = x^2\,e^{-x}

Indice : Formule du produit : (uv)' = u'v + uv'. Toujours factoriser le résultat par l'exponentielle pour préparer l'étude de signe.

Correction

1. Étape 1 : **a)** u(x) = x + 1, v(x) = e^x donc u'(x) = 1 et v'(x) = e^x. f'(x) = 1 e^x + (x + 1) e^x = e^x(1 + x + 1) = (x + 2)\,e^x.

   f'(x) = (x + 2)\,e^x

2. Étape 2 : **b)** u(x) = x^2, v(x) = e^{-x} donc u'(x) = 2x et v'(x) = -e^{-x}. g'(x) = 2x\,e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x(2 - x)\,e^{-x}.

   g'(x) = x(2 - x)\,e^{-x}