Dériver un produit avec exponentielle

Énoncé

Calculer la dérivée et la factoriser par e^x (ou e^{-x}). a) f(x) = (x + 1)\,e^x b) g(x) = x^2\,e^{-x}

Indice : Formule du produit : (uv)' = u'v + uv'. Toujours factoriser le résultat par l'exponentielle pour préparer l'étude de signe.

Correction

1. Étape 1 : Deux formules à combiner, et une consigne d'énoncé qui n'est pas décorative : « factoriser par l'exponentielle ». Dérivée d'un produit : [formule] 👉 Après dérivation, les deux termes contiennent l'exponentielle. La mettre en facteur laisse un polynôme, dont le signe se lit immédiatement — alors que la somme non factorisée est illisible. C'est le geste qui prépare toute la suite du chapitre : sans lui, aucune étude de variations n'est possible.
2. Étape 2 : a) f(x) = (x+1)\,e^x u(x) = x + 1 donc u'(x) = 1 ; v(x) = e^x donc v'(x) = e^x. f'(x) = 1 e^x + (x+1) e^x On factorise par e^x, présent dans les deux termes : f'(x) = e^x[1 + (x+1)] = (x+2)\,e^x 👉 Le signe de f' se lit alors sans effort : c'est celui de x + 2, donc f décroît avant -2 et croît après.

   f'(x) = (x+2)\,e^x

3. Étape 3 : b) g(x) = x^2 e^{-x} u(x) = x^2 donc u'(x) = 2x ; v(x) = e^{-x} donc v'(x) = -e^{-x}. ⚠️ C'est ce v' qui porte tout le risque de l'exercice : la dérivée de e^{-x} vaut -e^{-x}, avec le signe. g'(x) = 2x\,e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x(2-x)\,e^{-x} Le signe de g' est donc celui de x(2-x) : négatif avant 0, positif entre 0 et 2, négatif après 2.

   g'(x) = x(2-x)\,e^{-x}

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire v'(x) = e^{-x} au lieu de -e^{-x}, en dérivant e^{-x} comme s'il s'agissait de e^x. On trouverait g'(x) = (2x + x^2)e^{-x} = x(2+x)e^{-x}. Contrôle qui l'attrape : g(x) = x^2 e^{-x} est le produit d'un terme qui croît (x^2) et d'un qui décroît (e^{-x}). Sa dérivée doit donc changer de signe — et le résultat erroné change de signe au mauvais endroit (-2 au lieu de 2), ce qui donnerait un maximum sur la partie négative alors que g y croît. À retenir : Dériver, puis factoriser par l'exponentielle systématiquement. Le facteur restant est un polynôme, et c'est lui qui donne les variations. [formule]