Dériver des fonctions de la forme $e^{ax+b}$

Énoncé

Calculer la dérivée des fonctions suivantes, définies sur R. a) f(x) = e^{4x} b) g(x) = e^{-x + 3} c) h(x) = 5\,e^{2x - 7}

Indice : Formule : (e^{ax + b})' = a\,e^{ax + b}. Pour h, ne pas oublier le coefficient 5.

Correction

1. Étape 1 : Une seule formule à connaître pour ces trois dérivées, et un seul piège : le facteur qui apparaît devant. Dérivée de e^{ax+b} : [formule] 👉 L'exponentielle est inchangée par la dérivation — c'est sa propriété caractéristique, celle qui la rend unique parmi les fonctions. Ce qui apparaît, c'est le coefficient de x dans l'exposant, en facteur. Le réflexe : repérer ce coefficient avant de dériver, en écrivant u(x) et u'(x) à part.
2. Étape 2 : a) f(x) = e^{4x} : ici u(x) = 4x, donc u'(x) = 4. [formule]

   f'(x) = 4\,e^{4x}

3. Étape 3 : b) g(x) = e^{-x+3} : ici u(x) = -x + 3, donc u'(x) = -1 (la constante 3 disparaît en dérivant). [formule] Le signe « moins » vient du coefficient de x, pas de l'exponentielle — qui reste, elle, strictement positive.

   g'(x) = -e^{-x+3}

4. Étape 4 : c) h(x) = 5\,e^{2x-7} : le facteur 5 est une constante multiplicative, elle se conserve telle quelle. Et u(x) = 2x - 7 donne u'(x) = 2. [formule] Les deux coefficients se multiplient : celui qui était déjà là, et celui que la dérivation fait apparaître.

   h'(x) = 10\,e^{2x-7}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier le facteur a et écrire (e^{4x})' = e^{4x}. Cette égalité n'est vraie que pour a = 1, c'est-à-dire pour e^x lui-même — et c'est justement parce qu'on retient bien (e^x)' = e^x qu'on la généralise à tort. Contrôle par le bon sens : plus le coefficient de x est grand, plus la fonction croît vite, donc plus sa dérivée est grande. Une dérivée qui ne dépendrait pas de a serait absurde. À retenir : [formule] C'est la formule générale, dont le cas u(x) = ax + b donne (e^{ax+b})' = a\,e^{ax+b}. La même s'emploiera en Terminale avec des u quelconques. Écrire u et u' à part avant de dériver : deux lignes qui suppriment le piège.