Résoudre des inéquations exponentielles

Énoncé

Résoudre dans R : a) e^{3x} e^{x + 4} b) e^{2 - x} < 1 c) e^{x^2 - 4} 1

Indice : La fonction est strictement croissante donc conserve l'ordre. Pour 1, on écrit 1 = e^0.

Correction

1. Étape 1 : Même principe que pour les équations, avec un point supplémentaire : ici l'inégalité doit être conservée, et c'est encore la stricte croissance qui le garantit. Croissance et inégalités : [formule] Le sens de l'inégalité est conservé, parce que est croissante. 👉 Et un geste préalable à connaître : quand l'un des membres est un nombre, il faut le réécrire comme une exponentielle pour pouvoir comparer. Ici, 1 = e^0.
2. Étape 2 : a) e^{3x} e^{x+4} 3x x + 4 2x 4 x 2 [formule]

   S = [2\,;\,+[

3. Étape 3 : b) On réécrit d'abord le 1 : e^{2-x} < 1 e^{2-x} < e^0 2 - x < 0 Puis on isole x — et c'est ici qu'il faut être attentif : 2 - x < 0 -x < -2 x > 2 ⚠️ En multipliant les deux membres par -1, l'inégalité change de sens. Ce n'est pas une règle sur l'exponentielle, c'est de l'algèbre ordinaire — mais c'est précisément là qu'elle se perd, parce qu'on vient de dire que « le sens est conservé » à l'étape d'avant. [formule]

   S = \, ]2\,;\,+[

4. Étape 4 : c) e^{x^2 - 4} 1 e^{x^2-4} e^0 x^2 - 4 0 On factorise pour lire le signe : x^2 - 4 = (x-2)(x+2). Un trinôme de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines : [formule] Les bornes sont incluses, car l'inégalité est large et x^2 - 4 s'annule en 2.

   S = [-2\,;\,2]

5. Étape 5 : L'erreur classique : Deux sens d'inégalité se croisent dans cet exercice, et l'on confond facilement leurs règles : - passer aux exposants conserve le sens (car est croissante) ; - multiplier par un nombre négatif le renverse (algèbre ordinaire). En b), les deux interviennent l'un après l'autre. Traiter la seconde comme la première donnerait S = \,]-\,;2[, soit exactement le complémentaire de la bonne réponse. À retenir : Réécrire toute constante sous forme exponentielle : 1 = e^0. Puis résoudre l'inéquation ordinaire en surveillant les multiplications par un négatif. 👉 Contrôle gratuit : tester une valeur de l'intervalle trouvé. En b), x = 3 donne e^{-1} 0{,}37 < 1 ✓ — alors que x = 0 donnerait e^2 7{,}4, qui n'est pas inférieur à 1.