Résoudre des équations $e^{u} = e^{v}$

Énoncé

Résoudre dans R les équations suivantes : a) e^{2x} = e^{x + 4} b) e^{x^2} = e^{3x + 4} c) e^{x^2 - 1} = e^{-1}

Indice : Utilise e^u = e^v u = v (la fonction est strictement croissante donc injective).

Correction

1. Étape 1 : Les trois équations se résolvent par le même geste : supprimer les exponentielles des deux côtés. Encore faut-il savoir pourquoi on en a le droit. Pourquoi on peut « enlever les exp » : La fonction est strictement croissante, donc elle ne prend jamais deux fois la même valeur. Deux exponentielles égales ne peuvent donc venir que du même exposant : [formule] 👉 Une fois les exponentielles supprimées, il ne reste qu'une équation ordinaire — du premier degré en a), du second en b) et c). L'exponentielle disparaît dès la première ligne, et le reste est du cours de Seconde et de Première.
2. Étape 2 : a) e^{2x} = e^{x+4} 2x = x + 4 x = 4 [formule] Contrôle : pour x = 4, le membre de gauche vaut e^8 et celui de droite e^{4+4} = e^8 ✓

   S = \{4\}

3. Étape 3 : b) e^{x^2} = e^{3x+4} x^2 = 3x + 4 x^2 - 3x - 4 = 0 C'est un trinôme : a = 1, b = -3, c = -4. = b^2 - 4ac = 9 + 16 = 25 > 0, donc deux racines distinctes, avec = 5 : x_1 = 3 - 5{2} = -1 x_2 = 3 + 5{2} = 4 [formule]

   S = \{-1\,;\,4\}

4. Étape 4 : c) e^{x^2 - 1} = e^{-1} x^2 - 1 = -1 x^2 = 0 x = 0 [formule] ⚠️ x^2 = 0 n'a qu'une seule solution, pas deux : +0 et -0 sont le même nombre. (On dit qu'elle est *double*, mais l'ensemble des solutions ne contient qu'un élément.) C'est le cas = 0 du trinôme, écrit sous une forme si simple qu'on l'oublie.

   S = \{0\}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Vouloir « simplifier par e^x » comme on simplifierait par un nombre, en divisant les deux membres. On ne divise pas : on identifie les exposants, ce qui est un raisonnement d'injectivité, pas de calcul. Second piège : croire qu'une équation du second degré a toujours deux solutions. En c), il n'y en a qu'une. À retenir : [formule] Après cette étape, l'exponentielle a disparu et l'on résout comme d'habitude. Terminer par une vérification en remplaçant la solution dans l'équation de départ : elle coûte une ligne et attrape les erreurs de signe.