Résoudre des équations $e^{u} = e^{v}$

Énoncé

Résoudre dans R les équations suivantes : a) e^{2x} = e^{x + 4} b) e^{x^2} = e^{3x + 4} c) e^{x^2 - 1} = e^{-1}

Indice : Utilise e^u = e^v u = v (la fonction est strictement croissante donc injective).

Correction

1. Étape 1 : **a)** e^{2x} = e^{x+4} 2x = x + 4 x = 4. **Solution** : S = \{4\}.

   S = \{4\}

2. Étape 2 : **b)** e^{x^2} = e^{3x+4} x^2 = 3x + 4 x^2 - 3x - 4 = 0. Trinôme = 9 + 16 = 25, racines x_1 = 3 - 5{2} = -1 et x_2 = 3 + 5{2} = 4. **Solutions** : S = \{-1\,;\,4\}.

   S = \{-1\,;\,4\}

3. Étape 3 : **c)** e^{x^2 - 1} = e^{-1} x^2 - 1 = -1 x^2 = 0 x = 0. **Solution** : S = \{0\}.

   S = \{0\}