Signe d'un produit avec exponentielle
Énoncé
Étudier le signe sur R des expressions :
a) (2x - 6)\,e^{x}
b) -3\,e^{-x}
c) (x^2 - 4)\,e^{2x}
Indice : L'exponentielle est toujours strictement positive. Le signe du produit est donc celui du facteur polynôme seul.
Correction
- Étape 1 : Ces trois signes se lisent sans aucun calcul, grâce à une seule propriété — et c'est la plus importante de tout le chapitre.
Le signe de l'exponentielle :
[formule]
👉 Conséquence directe : dans un produit « facteur exponentielle », l'exponentielle ne change jamais le signe. Le signe du produit est celui de l'autre facteur, et de lui seul.
C'est ce qui rendra faisables toutes les études de fonction du chapitre : on factorise par l'exponentielle, on la met de côté, et il ne reste qu'un polynôme à étudier.
- Étape 2 : a) (2x - 6)\,e^x
Comme e^x > 0, le signe est celui de 2x - 6. Or 2x - 6 = 0 x = 3, et le coefficient de x est positif, donc l'expression est négative avant 3 et positive après.
| x | - | | 3 | | + |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| (2x-6)e^x | | - | 0 | + | |
(2x-6)\,e^x > 0 x > 3
- Étape 3 : b) -3\,e^{-x}
Comme e^{-x} > 0 — oui, même avec un exposant négatif — le signe est celui de -3, qui est constant.
[formule]
Il n'y a donc aucun changement de signe, et rien à mettre dans un tableau.
-3\,e^{-x} < 0 sur R
- Étape 4 : c) (x^2 - 4)\,e^{2x}
Comme e^{2x} > 0, le signe est celui de x^2 - 4. On factorise pour lire les racines :
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Un trinôme de coefficient dominant positif est positif à l'extérieur de ses racines et négatif entre elles :
| x | - | | -2 | | 2 | | + |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| (x^2-4)e^{2x} | | + | 0 | - | 0 | + | |
(x^2-4)\,e^{2x} > 0 |x| > 2
- Étape 5 : L'erreur classique :
Croire que e^{-x} est négatif parce que son exposant l'est.
C'est l'erreur qui coûte le plus cher dans ce chapitre : elle fait chercher un changement de signe qui n'existe pas, et fausse toute la suite d'une étude de fonction. e^{-x} est aussi positif que e^x — il est simplement plus petit quand x est grand.
À retenir :
Réflexe permanent : factoriser par l'exponentielle AVANT toute étude de signe. Elle sort alors du problème comme un facteur strictement positif, et il ne reste qu'un polynôme.
[formule]