Signe d'un produit avec exponentielle

Énoncé

Étudier le signe sur R des expressions : a) (2x - 6)\,e^{x} b) -3\,e^{-x} c) (x^2 - 4)\,e^{2x}

Indice : L'exponentielle est **toujours strictement positive**. Le signe du produit est donc celui du **facteur polynôme** seul.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Comme e^x > 0, le signe est celui de (2x - 6) : nul en x = 3, négatif avant, positif après.

   (2x - 6)\,e^x > 0 x > 3

2. Étape 2 : **b)** Comme e^{-x} > 0, le signe de -3\,e^{-x} est celui de -3 : **strictement négatif pour tout x**.

   -3\,e^{-x} < 0 \; x

3. Étape 3 : **c)** Comme e^{2x} > 0, le signe est celui de (x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2) : positif à l'extérieur de [-2\,;\,2], négatif à l'intérieur, nul en 2.

   (x^2 - 4)\,e^{2x} > 0 |x| > 2