Encadrer une exponentielle

Énoncé

On donne e 2{,}718 et e^2 7{,}389. a) Encadrer e^{1{,}5} à l'aide de ces deux valeurs (utiliser la stricte croissance). b) Donner une valeur approchée de 1{e} à 0{,}01 près. c) Donner une valeur approchée de 1{e^2} à 0{,}01 près.

Indice : La fonction est strictement croissante : si a < b, alors e^a < e^b. Pour 1{e}, divise simplement 1 par la valeur de e.

Correction

1. Étape 1 : La stricte croissance de la fonction exponentielle est ce qui permet d'encadrer sans calculatrice : elle transporte un encadrement des exposants en un encadrement des exponentielles, dans le même sens. Stricte croissance : [formule] 👉 C'est la propriété la plus utilisée du chapitre. Elle sert ici à encadrer, et servira ensuite à résoudre toutes les inéquations exponentielles.
2. Étape 2 : a) On part d'un encadrement de l'exposant, avec les deux valeurs dont on dispose : 1 < 1{,}5 < 2 La fonction étant strictement croissante, elle conserve l'ordre : e^1 < e^{1{,}5} < e^2 soit 2{,}71 < e^{1{,}5} < 7{,}39 ⚠️ Cet encadrement est large — d'amplitude environ 4,67 — et c'est normal : on ne dispose que de deux valeurs, très éloignées l'une de l'autre. La valeur réelle est e^{1{,}5} 4{,}48. Pour un encadrement plus fin, il faudrait connaître des valeurs de e^a pour des a plus proches de 1,5.

   2{,}71 < e^{1{,}5} < 7{,}39

3. Étape 3 : b) 1{e} 1{2{,}718} 0{,}37 c) 1{e^2} 1{7{,}389} 0{,}14 👉 Contrôle de cohérence : comme 1 < e < e^2, le passage à l'inverse renverse l'ordre et donne 1{e^2} < 1{e} < 1. Les valeurs trouvées le confirment : 0{,}14 < 0{,}37 < 1 ✓

   1{e} 0{,}37 ; 1{e^2} 0{,}14

4. Étape 4 : L'erreur classique : Conserver le sens de l'inégalité en passant à l'inverse, et écrire 1{e} < 1{e^2} parce que e < e^2. C'est faux : sur des nombres strictement positifs, passer à l'inverse renverse l'ordre. Deux opérations, deux comportements opposés — l'exponentielle conserve l'ordre, l'inverse le renverse. À retenir : conserve l'ordre : a < b e^a < e^b. L'inverse le renverse : 0 < a < b 1{b} < 1{a}. 👉 Et pour encadrer e^c sans calculatrice : encadrer d'abord c par des valeurs dont on connaît l'exponentielle, puis appliquer la croissance.