Réécrire sans le signe « moins »

Énoncé

Écrire les expressions suivantes sous la forme 1{e^{u(x)}} ou e^{v(x)} sans exposant négatif. a) e^{-3} b) e^{-2x} c) 1{e^{-x}}

Indice : Rappel : e^{-a} = 1{e^a}. Inversement, 1{e^{-a}} = e^a.

Correction

1. Étape 1 : Un exposant négatif ne veut dire qu'une chose : passer à l'inverse. Il n'y a donc rien à calculer, seulement à changer d'écriture. Exposant négatif : [formule] 👉 Un point qui rassure autant qu'il sert : un exposant négatif ne rend jamais l'exponentielle négative. e^{-3} = 1{e^3} 0{,}05 — plus petit que 1, mais strictement positif.
2. Étape 2 : a) e^{-3} = 1{e^3} b) e^{-2x} = 1{e^{2x}} L'exposant tout entier change de signe et passe au dénominateur.

   e^{-3} = 1{e^3} ; e^{-2x} = 1{e^{2x}}

3. Étape 3 : c) 1{e^{-x}} = e^{x} Deux façons de le voir, toutes deux correctes : - par l'inverse d'un inverse : e^{-x} = 1{e^x}, donc 1{e^{-x}} = 1{1{e^x}} = e^x ; - par la règle directe : 1{e^{-x}} = e^{-(-x)} = e^x.

   1{e^{-x}} = e^{x}

4. Étape 4 : L'erreur classique : Croire qu'un exposant négatif donne un résultat négatif, et écrire par exemple e^{-3} < 0. C'est faux, et c'est l'erreur qui casse le plus d'études de fonction plus loin dans le chapitre : elle fait chercher un changement de signe là où il n'y en a jamais. Toute exponentielle est strictement positive, quel que soit son exposant. À retenir : Exposant négatif inverse. Rien de plus. [formule] Et le signe ne bouge jamais : e^{u(x)} > 0 pour tout x et pour toute expression u.