Simplifier des expressions exponentielles

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes et écrire le résultat sous la forme e^{f(x)}. a) e^{2x} e^{3x} b) e^{4x}{e^{x - 1}} c) (e^{-x})^4

Indice : Utilise les règles de calcul : pour le produit, on additionne les exposants ; pour le quotient, on soustrait ; pour la puissance, on multiplie.

Correction

1. Étape 1 : Trois simplifications, une par règle. Deux sont immédiates ; la seule qui demande de l'attention est le quotient, à cause d'un signe. Les trois gestes : produit on additionne les exposants quotient on soustrait puissance on multiplie 👉 Dans le cas du quotient, l'exposant du dénominateur est soustrait en entier. Il faut donc le mettre entre parenthèses avant de développer — c'est là que se perd le plus de points.
2. Étape 2 : a) e^{2x} e^{3x} = e^{2x + 3x} = e^{5x}

   e^{2x} e^{3x} = e^{5x}

3. Étape 3 : b) e^{4x}{e^{x-1}} = e^{4x - (x - 1)} Les parenthèses sont le point délicat : le signe « - » se distribue sur les deux termes, donc le -1 devient +1 : 4x - (x - 1) = 4x - x + 1 = 3x + 1 [formule] 👉 Contrôle numérique gratuit : prendre x = 1. À gauche, e^4{e^0} = e^4. À droite, e^{3+1} = e^4 ✓ — alors que l'erreur donnerait e^{3-1} = e^2, qui ne colle pas.

   e^{4x}{e^{x-1}} = e^{3x+1}

4. Étape 4 : c) (e^{-x})^4 = e^{4 (-x)} = e^{-4x} Le facteur 4 multiplie l'exposant tout entier, signe compris.

   (e^{-x})^4 = e^{-4x}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire e^{4x - x - 1} = e^{3x - 1}, en oubliant de distribuer le signe sur le -1 du dénominateur. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle passe inaperçue parce que le résultat ressemble au bon. D'où la parenthèse systématique. À retenir : Écrire e^{a - (b)} avec la parenthèse avant de développer, toujours. Et le contrôle qui ne coûte rien : remplacer x par une valeur simple (0 ou 1) dans l'expression de départ et dans le résultat. Si les deux ne coïncident pas, c'est le signe qui a sauté.