Calculer des valeurs particulières

Énoncé

Donner sans calculatrice les valeurs exactes des expressions suivantes : a) e^0 b) e^1 e^{-1} c) (e^2)^3 d) e^5{e^3}

Indice : Applique les règles algébriques de l'exponentielle : e^{a+b} = e^a e^b, (e^a)^n = e^{n\,a}, e^{a-b} = e^a{e^b}.

Correction

1. Étape 1 : Aucune calculatrice n'est nécessaire ici, et c'est le point à comprendre avant tout le chapitre : e^a se manipule exactement comme 2^a ou 10^a. Les règles ne sont pas nouvelles, ce sont celles des puissances déjà connues depuis la Seconde. Les règles, identiques à celles des puissances : [formule] 👉 Une seule propriété est vraiment propre à l'exponentielle, et elle servira dans tout le chapitre : e^x > 0 pour tout x, sans exception.
2. Étape 2 : a) e^0 = 1 C'est une définition, mais elle n'est pas arbitraire : c'est la seule valeur qui rende les autres règles cohérentes. Si e^0 valait autre chose que 1, la règle e^{a+0} = e^a e^0 donnerait e^a e^a. b) e^1 e^{-1} = e^{1 + (-1)} = e^0 = 1 Autre lecture, tout aussi valable : e^{-1} = 1{e}, donc e 1{e} = 1.

   e^0 = 1 ; e^1 e^{-1} = 1

3. Étape 3 : c) (e^2)^3 = e^{2 3} = e^6 ⚠️ On multiplie les exposants, on ne les additionne pas. Le repère qui évite l'erreur : une puissance de puissance, c'est répéter le produit — (e^2)^3 = e^2 e^2 e^2 = e^{2+2+2} = e^6 d) e^5{e^3} = e^{5-3} = e^2

   (e^2)^3 = e^6 ; e^5{e^3} = e^2

4. Étape 4 : L'erreur classique : Confondre (e^2)^3 et e^2 e^3. Le premier multiplie les exposants et vaut e^6 ; le second les additionne et vaut e^5. Ce sont deux questions différentes, et deux nombres très différents — e^6 403 contre e^5 148. À retenir : Les règles de l'exponentielle sont celles des puissances, sans exception : produit on additionne, quotient on soustrait, puissance on multiplie. Et les deux valeurs à connaître par cœur : e^0 = 1 et e^{-a} = 1{e^a}.