Problème complet : tétraèdre régulier

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1{2}; {3}{2}; 0) et D(1{2}; {3}{6}; {6}{3}) (sommets d'un tétraèdre régulier d'arête 1). a) Vérifier que AB = AC = AD = 1. b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). c) Calculer la distance de D au plan (ABC) (la hauteur du tétraèdre).

Indice : b) Le plan (ABC) est le plan z = 0. c) Distance = formule, ou directement |z_D|.

Correction

1. Étape 1 : **a)** AB = 1 + 0 + 0 = 1 ✓. AC = (1/2)^2 + ({3/2)^2} = 1/4 + 3/4 = 1 ✓. AD = (1/2)^2 + ({3/6)^2 + (6/3)^2} = 1/4 + 1/12 + 2/3 = 3/12 + 1/12 + 8/12 = 12/12 = 1 ✓.
2. Étape 2 : **b)** A, B, C ont tous z = 0, donc ils sont dans le plan d'équation z = 0. **Équation de (ABC) : z = 0**.
3. Étape 3 : **c)** Distance de D au plan z = 0 : formule d = |0 + 0 + z_D + 0|{0^2 + 0^2 + 1^2} = |z_D| = {6}{3}. C'est la **hauteur** du tétraèdre régulier d'arête 1 : h = {6}{3} 0{,}816.

   h = {6}{3}

4. Étape 4 : **Bonus** : volume du tétraèdre = 1{3} aire(ABC) h = 1{3} {3}{4} {6}{3} = {18}{36} = {2}{12}.