Problème complet : tétraèdre régulier

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1{2}; {3}{2}; 0) et D(1{2}; {3}{6}; {6}{3}) (sommets d'un tétraèdre régulier d'arête 1). a) Vérifier que AB = AC = AD = 1. b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). c) Calculer la distance de D au plan (ABC) (la hauteur du tétraèdre).

Indice : b) Le plan (ABC) est le plan z = 0. c) Distance = formule, ou directement |z_D|.

Correction

1. Étape 1 : Un tétraèdre régulier : quatre sommets, six arêtes de même longueur, quatre faces qui sont des triangles équilatéraux. 👉 Le repère a été choisi intelligemment, et c'est ce qui rend le problème abordable : A est à l'origine, B sur l'axe des abscisses, et C dans le plan z = 0. Les trois premiers sommets sont donc au sol, et seul D décolle. ⚠️ Cette astuce n'est pas un détail : elle rendra la question b) immédiate, et la c) presque autant. Un bon repère divise le travail par dix — c'est la vraie leçon de l'exercice. ℹ️ Les coordonnées de D paraissent arbitraires ; elles sont en fait entièrement déterminées par la condition « toutes les arêtes valent 1 ».
2. Étape 2 : a) On vérifie les trois longueurs depuis A(0\,;0\,;0) — les coordonnées d'un point valent directement celles du vecteur depuis l'origine. AB = 1^2 + 0 + 0 = 1 ✓ AC = ({1{2})^2 + ( 3{2})^2 + 0} = {1{4} + 3{4}} = 1 = 1 ✓

   AB = AC = 1

3. Étape 3 : AD demande un peu plus de soin. On calcule chaque carré séparément : (1{2})^2 = 1{4} · ( 3{6})^2 = 3{36} = 1{12} · ( 6{3})^2 = 6{9} = 2{3} On met au dénominateur commun 12 : 1{4} = 3{12} · 1{12} · 2{3} = 8{12} [formule] 👉 Le carré d'une racine se simplifie : ( 3)^2 = 3, ( 6)^2 = 6. C'est ce qui fait disparaître tous les radicaux et donne un résultat entier.

   AD = 1

4. Étape 4 : b) Ici la géométrie du repère fait tout le travail. A, B et C ont tous une cote nulle : z_A = z_B = z_C = 0. Ils appartiennent donc au plan d'équation z = 0 — le plan « du sol ». [formule] 👉 Aucun calcul de vecteur normal n'est nécessaire. C'est le bénéfice direct du choix de repère : reconnaître qu'une coordonnée est constante suffit. ℹ️ Son vecteur normal est k(0\,;0\,;1), l'axe vertical — ce qu'on lit sur l'équation 0x + 0y + 1z + 0 = 0.

   (ABC) : z = 0

5. Étape 5 : c) La distance de D au plan z = 0, par la formule : d = |0 x_D + 0 y_D + 1 z_D + 0|{0^2+0^2+1^2} = |z_D|{1} = |z_D| [formule] 👉 La distance à un plan horizontal est simplement la cote du point — la formule le confirme, mais l'intuition le disait déjà. Contrôle de plausibilité : la hauteur 0{,}816 est inférieure à l'arête 1, ce qui est nécessaire (la hauteur est un côté d'un triangle rectangle dont l'arête AD est l'hypoténuse). Et elle n'est pas beaucoup plus petite — un tétraèdre régulier est un solide « ramassé » ✓

   h = 6{3} 0{,}816

6. Étape 6 : Le volume, en prolongement. La base ABC est un triangle équilatéral de côté 1, dont l'aire vaut 3{4} : V = 1{3} A_{ABC} h = 1{3} 3{4} 6{3} = {18}{36} Et 18 = 3 2, donc [formule] Contrôle : le tétraèdre est inscrit dans un cube d'arête 1{ 2} 0{,}707 (volume 0{,}354), et il en occupe le tiers ✓ L'erreur classique : Chercher un vecteur normal à (ABC) par la méthode générale, sans remarquer que z = 0. Ce n'est pas faux, mais c'est trois fois plus long — et l'occasion manquée de voir que le choix du repère est un outil. Avant de calculer, regarder si les points ont une coordonnée commune. À retenir : Un bon repère transforme un calcul en lecture : ici z = 0 se voit, et la hauteur est simplement |z_D|. 👉 Et les contrôles de plausibilité valent en géométrie comme ailleurs : une hauteur doit être inférieure à l'arête.