Droite perpendiculaire à un plan

Énoncé

Soit le plan P : 3x - 2y + z + 1 = 0 et A(1; -1; 2). a) Donner les coordonnées d'un vecteur normal à P. b) En déduire une représentation paramétrique de la droite passant par A et perpendiculaire à P. c) Déterminer le point d'intersection H de et P.

Indice : a) Coefficients de x, y, z dans l'équation. b) a pour vecteur directeur n.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions qui s'enchaînent, et c'est la lecture du vecteur normal qui déclenche tout. 👉 Une droite perpendiculaire à un plan est parallèle à son vecteur normal — c'est la définition même. Donc le vecteur normal du plan est le vecteur directeur de la droite. Aucun calcul n'est nécessaire pour passer de a) à b). Perpendiculaire à un plan par un point : 1. lire n sur les coefficients de l'équation ; 2. écrire la paramétrique avec A comme point et n comme vecteur directeur ; 3. substituer dans l'équation du plan pour trouver le point d'intersection.
2. Étape 2 : a) Sur P : 3x - 2y + z + 1 = 0, les coefficients de x, y, z donnent directement : [formule] ⚠️ Le signe compte : le coefficient de y est -2, pas 2. b) La droite passe par A(1\,;-1\,;2) et a n pour vecteur directeur : [formule]

   n(3\,;-2\,;1) \ ; \ : cases x = 1+3t y = -1-2t z = 2+t cases

3. Étape 3 : c) Le point H est l'intersection de et P. On substitue : 3(1+3t) - 2(-1-2t) + (2+t) + 1 = 0 ⚠️ Le -2 multiplie les deux termes de la parenthèse : -2 (-1) = +2 et -2 (-2t) = +4t. 3 + 9t + 2 + 4t + 2 + t + 1 = 0 On regroupe : constantes 3+2+2+1 = 8, termes en t : 9t+4t+t = 14t. [formule]

   t = -4{7}

4. Étape 4 : On remplace t = -4{7} : x = 1 + 3 (-4{7}) = 1 - 12{7} = 7-12{7} = -5{7} y = -1 - 2 (-4{7}) = -1 + 8{7} = -7+8{7} = 1{7} z = 2 + (-4{7}) = 14-4{7} = 10{7} [formule] Vérification dans l'équation du plan : 3 (-5{7}) - 2 1{7} + 10{7} + 1 = -15 - 2 + 10 + 7{7} = 0{7} = 0 ✓

   H(-5{7}\,;1{7}\,;10{7})

5. Étape 5 : L'erreur classique : Mal distribuer le -2 dans -2(-1-2t). Écrire -2 + 4t (signe du premier terme oublié) donne t = -2{7}, un résultat plausible et faux. La vérification finale est le seul contrôle qui l'attrape — et elle vaut d'autant plus ici que les fractions rendent le calcul pénible à relire. 👉 Astuce de calcul : mettre au même dénominateur dès le départ (1 = 7{7}) rend la vérification presque instantanée. À retenir : Perpendiculaire à un plan dirigée par son vecteur normal. C'est ce qui relie les questions a) et b) sans aucun calcul. 👉 Et toujours vérifier que le point trouvé annule l'équation du plan.