Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Énoncé

Soit P : x + 2y - 2z + 3 = 0 et A(2; 1; 4). a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par A et orthogonale à P. b) En déduire les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur P. c) Vérifier que AH coïncide avec la distance d(A, P).

Indice : a pour vecteur directeur n, vecteur normal à P. H = P.

Correction

1. Étape 1 : Le projeté orthogonal est le point du plan le plus proche du point donné — et l'exercice le construit pas à pas, puis le confirme par une formule indépendante. 👉 La construction : on descend perpendiculairement depuis A jusqu'au plan. Cette perpendiculaire est dirigée par n, donc tout découle du vecteur normal. Projeté orthogonal : 1. droite passant par A, de vecteur directeur n ; 2. H = P par substitution ; 3. contrôle : AH doit valoir d(A,P) calculée par la formule directe. ⚠️ L'étape 3 n'est pas une redite : c'est un contrôle indépendant, qui emprunte un chemin entièrement différent.
2. Étape 2 : a) Sur P : x + 2y - 2z + 3 = 0, on lit n(1\,;2\,;-2). La droite passe par A(2\,;1\,;4) et est dirigée par n : [formule]

   : cases x = 2+t y = 1+2t z = 4-2t cases

3. Étape 3 : b) On substitue dans l'équation du plan : (2+t) + 2(1+2t) - 2(4-2t) + 3 = 0 ⚠️ Attention au -2 devant (4-2t) : il donne -8 + 4t. 2 + t + 2 + 4t - 8 + 4t + 3 = 0 Constantes : 2+2-8+3 = -1. Termes en t : t + 4t + 4t = 9t. [formule] D'où H(2 + 1{9}\,;\, 1 + 2{9}\,;\, 4 - 2{9}) = (19{9}\,;\,11{9}\,;\,34{9})

   H(19{9}\,;11{9}\,;34{9})

4. Étape 4 : c) Le contrôle par deux chemins. Premier chemin — on calcule AH directement : AH(1{9}\,;\,2{9}\,;\,-2{9}) = 1{9}\, n 👉 Ce n'est pas un hasard : H a été obtenu en avançant de t = 1{9} le long de n depuis A. Le vecteur AH est donc 1{9} n par construction. AH = 1{9} \| n\| = 1{9} 1+4+4 = 3{9} = 1{3}

   AH = 1{3}

5. Étape 5 : Second chemin — la formule de la distance, qui n'emploie ni ni H : d(A,P) = |2 + 2 1 - 2 4 + 3|{1+4+4} = |2+2-8+3|{3} = |-1|{3} = 1{3} [formule] 👉 Les deux chemins n'ont rien en commun : le premier passe par une droite, une substitution et un point ; le second par une seule évaluation. Qu'ils coïncident valide tout le calcul de b) — y compris les fractions. ℹ️ Et l'on retrouve le |-1| du numérateur : c'est exactement le -1 apparu dans l'équation 9t - 1 = 0. Les deux méthodes sont donc reliées, et le 1{9} vient de 1{\| n\|^2} = 1{9}.

   d(A,P) = 1{3}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Se contenter du calcul de H sans faire la vérification de c). Avec des fractions de dénominateur 9, une erreur de signe est facile et invisible. La formule de distance est le seul contrôle indépendant disponible — et l'énoncé la demande précisément pour cela. 👉 Second réflexe : AH doit être colinéaire à n. Si ce n'est pas le cas, H n'est pas le projeté orthogonal. À retenir : Projeté orthogonal = intersection avec la perpendiculaire, dirigée par n. 👉 Et AH = d(A,P) par définition du projeté : c'est le point du plan le plus proche. La coïncidence des deux calculs n'est donc pas une surprise, mais une vérification.