Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Énoncé

Soit P : x + 2y - 2z + 3 = 0 et A(2; 1; 4). a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par A et orthogonale à P. b) En déduire les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur P. c) Vérifier que AH coïncide avec la distance d(A, P).

Indice : a pour vecteur directeur n, vecteur normal à P. H = P.

Correction

1. Étape 1 : **a)** n(1; 2; -2). Droite passant par A de vecteur directeur n : cases x = 2 + t y = 1 + 2t z = 4 - 2t cases.
2. Étape 2 : **b)** H = P. Remplacer dans P : (2 + t) + 2(1 + 2t) - 2(4 - 2t) + 3 = 0 2 + t + 2 + 4t - 8 + 4t + 3 = 0 9t - 1 = 0 t = 1{9}. Donc H(2 + 1{9}\,;\, 1 + 2{9}\,;\, 4 - 2{9}) = (19{9}\,;\,11{9}\,;\,34{9}).
3. Étape 3 : **c)** AH = (1{9}\,;\,2{9}\,;\,-2{9}) = 1{9}n. AH = 1{9} |n| = 1{9} 1+4+4 = 3{9} = 1{3}. Formule directe : d(A, P) = |2 + 2 - 8 + 3|{3} = |-1|{3} = 1{3} ✓.

   AH = d(A, P) = 1{3}