Distance d'un point à un plan

Énoncé

Calculer la distance du point M(3; -1; 2) au plan P : 2x + y - 2z + 5 = 0.

Indice : Formule : d(M, P) = |a x_M + b y_M + c z_M + d|{a^2 + b^2 + c^2}.

Correction

1. Étape 1 : Une formule directe, à condition de la découper. Distance d'un point à un plan : Pour P : ax+by+cz+d = 0 et M(x_0\,;y_0\,;z_0) : [formule] 👉 Comment la lire : au numérateur, on remplace le point dans l'équation du plan et l'on prend la valeur absolue ; au dénominateur, la norme du vecteur normal. ⚠️ La valeur absolue n'est pas décorative : sans elle on obtiendrait une distance négative selon le côté du plan où se trouve le point. Le signe indique de quel côté on est ; la valeur absolue le supprime pour ne garder que la distance.
2. Étape 2 : Le numérateur. On remplace M(3\,;-1\,;2) dans 2x+y-2z+5 : 2 3 + (-1) + (-2) 2 + 5 = 6 - 1 - 4 + 5 = 6 En valeur absolue : |6| = 6. Le dénominateur. C'est la norme de n(2\,;1\,;-2) : 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4+1+4 = 9 = 3 👉 Un radical qui tombe juste — ce n'est pas un hasard, l'énoncé a choisi (2\,;1\,;-2) exprès, comme le triplet pythagoricien de l'espace.

   numérateur = 6 \ ; dénominateur = 3

3. Étape 3 : [formule] ℹ️ Interprétation : le point M est à 2 unités du plan. Le signe du numérateur, positif avant valeur absolue, dit en outre de quel côté — le même que celui vers lequel pointe n. 👉 Contrôle de cohérence : une distance est positive, et elle vaut 0 exactement quand le point appartient au plan. Ici 6 0, donc M P ✓ — cohérent avec une distance non nulle.

   d(M,P) = 2

4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier le +d au numérateur, ou la valeur absolue. Sans le +5, on obtiendrait |1|{3} = 1{3} au lieu de 2 — six fois moins. Et sans la valeur absolue, un point de l'autre côté donnerait une « distance » négative, ce qui n'a aucun sens. 👉 Le numérateur est exactement le membre de gauche de l'équation du plan, évalué au point. Le même calcul qui teste l'appartenance sert donc à mesurer la distance : nul sur le plan, non nul à distance. À retenir : d = |{équation évaluée au point|}{\| n\|}. 👉 Un seul calcul répond à deux questions : appartenance (le numérateur est-il nul ?) et distance (quelle est sa valeur ?).