Intersection de deux plans

Énoncé

Soient les plans P_1 : x + y + z - 3 = 0 et P_2 : 2x - y + z = 0. a) Montrer que les deux plans sont sécants selon une droite D. b) Déterminer une représentation paramétrique de D.

Indice : a) Vecteurs normaux non colinéaires. b) Poser z = t et résoudre le système.

Correction

1. Étape 1 : **a)** n_1(1; 1; 1) et n_2(2; -1; 1). Si colinéaires, 2{1} = -1{1} devrait être vrai (faux : 2 -1). Donc n_1 et n_2 ne sont pas colinéaires → les plans sont **sécants** selon une droite.
2. Étape 2 : **b)** Posons z = t. Le système devient : cases x + y = 3 - t 2x - y = -t cases. Addition : 3x = 3 - 2t x = 1 - 2t{3}. Reportant : y = 3 - t - x = 3 - t - 1 + 2t{3} = 2 - t{3}.
3. Étape 3 : Pour avoir des entiers, posons t = 3s : x = 1 - 2s, y = 2 - s, z = 3s. **Représentation paramétrique** : cases x = 1 - 2s y = 2 - s z = 3s cases avec s R. Vecteur directeur u(-2; -1; 3).