Intersection de deux plans

Énoncé

Soient les plans P_1 : x + y + z - 3 = 0 et P_2 : 2x - y + z = 0. a) Montrer que les deux plans sont sécants selon une droite D. b) Déterminer une représentation paramétrique de D.

Indice : a) Vecteurs normaux non colinéaires. b) Poser z = t et résoudre le système.

Correction

1. Étape 1 : Deux plans de l'espace n'ont que trois positions possibles — bien moins que deux droites. Position de deux plans : On compare les vecteurs normaux : non colinéaires plans sécants selon une droite ; colinéaires parallèles (équations incompatibles) ou confondus (équations proportionnelles). 👉 Il n'y a pas de cas « non coplanaires » pour deux plans : deux plans de l'espace se coupent toujours, sauf s'ils sont parallèles. ⚠️ Et la droite d'intersection ne s'obtient pas par une formule : il faut résoudre le système des deux équations, avec une inconnue laissée libre — c'est elle qui deviendra le paramètre.
2. Étape 2 : a) Les vecteurs normaux se lisent sur les coefficients : n_1(1\,;1\,;1) pour P_1 et n_2(2\,;-1\,;1) pour P_2. Sont-ils colinéaires ? On compare les rapports : 2{1} = 2 mais -1{1} = -1 2 -1, donc les rapports diffèrent : les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. [formule] 👉 Un seul rapport discordant suffit à conclure — inutile de calculer le troisième.

   n_1 et n_2 non colinéaires

3. Étape 3 : b) Il faut résoudre le système formé par les deux équations : [formule] Deux équations, trois inconnues : il y a une infinité de solutions, ce qui est attendu — elles forment justement la droite cherchée. On choisit une inconnue libre, qui deviendra le paramètre. Posons z = t : [formule]

   cases x+y = 3-t 2x-y = -t cases

4. Étape 4 : On additionne les deux lignes — le y disparaît : 3x = 3 - 2t x = 1 - 2t{3} Puis on reporte dans la première : y = 3 - t - x = 3 - t - (1 - 2t{3}) = 2 - t + 2t{3} = 2 - t{3} 👉 Les fractions sont gênantes. On les fait disparaître par un changement de paramètre : posons t = 3s. x = 1 - 2s · y = 2 - s · z = 3s [formule] Vecteur directeur : u(-2\,;\,-1\,;\,3).

   u(-2\,;-1\,;3)

5. Étape 5 : Deux vérifications, et la seconde est particulièrement instructive : Un point — avec s = 1, on obtient (-1\,;1\,;3). P_1 : -1 + 1 + 3 - 3 = 0 ✓ · P_2 : -2 - 1 + 3 = 0 ✓ Le vecteur directeur doit être orthogonal aux deux vecteurs normaux — puisque la droite est contenue dans les deux plans : u n_1 = -2 - 1 + 3 = 0 ✓ u n_2 = -4 + 1 + 3 = 0 ✓ 👉 Ce second contrôle est indépendant du premier : il valide la direction, là où le premier valide la position.

   u n_1 = 0 \ ; u n_2 = 0

6. Étape 6 : L'erreur classique : Chercher une solution unique au système, et se bloquer. Deux équations, trois inconnues : il doit y avoir une infinité de solutions, puisque la droite d'intersection contient une infinité de points. Le système n'est pas « incomplet » — sa sous-détermination est le résultat. 👉 Et le changement de paramètre (t = 3s) n'est pas obligatoire, mais il élimine les fractions et rend le vecteur directeur lisible. C'est un réflexe à prendre. À retenir : Deux plans : sécants ou parallèles/confondus, selon leurs vecteurs normaux — pas de troisième cas. 👉 Et le vecteur directeur de l'intersection est orthogonal aux deux normaux : un contrôle gratuit et indépendant du reste.