Intersection droite – plan

Énoncé

Soient la droite D : cases x = 2 + t y = -1 + 2t z = 3 - t cases et le plan P : 2x - y + 3z - 5 = 0. Déterminer les coordonnées du point d'intersection D P.

Indice : Remplacer x, y, z de la droite dans l'équation du plan, résoudre en t.

Correction

1. Étape 1 : Intersection d'une droite et d'un plan : le calcul le plus systématique du chapitre. Substituer, résoudre, remplacer : 1. substituer les expressions paramétriques de x, y, z dans l'équation du plan ; 2. on obtient une équation à une inconnue t ; 3. remplacer la valeur trouvée dans la représentation paramétrique. 👉 L'étape 1 fait disparaître trois variables d'un coup — c'est ce qui rend la méthode si efficace. ℹ️ Trois cas possibles selon l'équation obtenue : une solution unique (la droite perce le plan), aucune solution du type 0 = 5 (la droite est parallèle au plan), ou une identité 0 = 0 (la droite est contenue dans le plan).
2. Étape 2 : On substitue dans P : 2x - y + 3z - 5 = 0 : 2(2+t) - (-1+2t) + 3(3-t) - 5 = 0 ⚠️ Le signe moins devant la parenthèse change les deux termes : -(-1+2t) = +1 - 2t. On développe : 4 + 2t + 1 - 2t + 9 - 3t - 5 = 0 On regroupe les constantes (4+1+9-5 = 9) et les termes en t (2t - 2t - 3t = -3t) : [formule]

   9 - 3t = 0 t = 3

3. Étape 3 : On remplace t = 3 dans la représentation paramétrique : x = 2 + 3 = 5 y = -1 + 2 3 = -1 + 6 = 5 z = 3 - 3 = 0 [formule] Vérification — on réinjecte dans l'équation du plan : 2 5 - 5 + 3 0 - 5 = 10 - 5 + 0 - 5 = 0 ✓ 👉 Ce contrôle est indépendant du calcul de t : il valide l'ensemble de la démarche.

   D P = \{(5\,;5\,;0)\}

4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier de distribuer le signe moins devant (-1+2t). En écrivant -1 + 2t au lieu de +1 - 2t, les termes en t ne se simplifient plus de la même façon et l'on obtient un t faux — sans que rien ne le signale, puisque le résultat reste un nombre plausible. 👉 La vérification finale l'attrape : le point trouvé doit annuler l'équation du plan. C'est le seul contrôle qui teste tout le calcul d'un coup. À retenir : Substituer, résoudre en t, remplacer — puis vérifier que le point annule l'équation. 👉 Et si l'équation en t devient 0 = k (impossible) ou 0 = 0 (toujours vraie), ce n'est pas une erreur : c'est le cas parallèle ou le cas contenu.