Plan défini par 3 points

Énoncé

Soient A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) et C(0; 0; 3). Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Indice : 1) Calculer AB et AC. 2) Trouver un vecteur normal en résolvant le système n AB = 0 et n AC = 0. 3) Appliquer la méthode point + normal.

Correction

1. Étape 1 : Trois points déterminent un plan — encore faut-il traduire cela en équation. Plan par trois points : 1. calculer deux vecteurs du plan, par exemple AB et AC ; 2. chercher n orthogonal aux deux (système de 2 équations, 3 inconnues) ; 3. écrire ax+by+cz+d=0 et trouver d avec l'un des points. 👉 On retrouve exactement la technique de l'exercice sur le vecteur normal — ici les deux vecteurs viennent des points au lieu d'être donnés. ℹ️ Les points de cet exercice sont sur les trois axes : A sur (Ox), B sur (Oy), C sur (Oz). Cela donnera une forme d'équation remarquable à la fin.
2. Étape 2 : Deux vecteurs du plan, à partir de A(1\,;0\,;0) : AB(0-1\,;\,2-0\,;\,0-0) = (-1\,;\,2\,;\,0) AC(0-1\,;\,0-0\,;\,3-0) = (-1\,;\,0\,;\,3) Ils ne sont pas colinéaires (deuxième coordonnée : 2 contre 0), donc ils engendrent bien un plan.

   AB(-1\,;2\,;0) \ ; \ AC(-1\,;0\,;3)

3. Étape 3 : Le vecteur normal n(a\,;b\,;c) vérifie : [formule] Tout s'exprime en fonction de a : b = a{2} et c = a{3}. 👉 Pour obtenir des entiers, on choisit a multiple de 2 et de 3, donc a = 6 : b = 3 et c = 2 [formule] ℹ️ Prendre le PPCM des dénominateurs est le réflexe qui évite les fractions dans toute la suite.

   n(6\,;3\,;2)

4. Étape 4 : L'équation est donc de la forme 6x + 3y + 2z + d = 0. On utilise A(1\,;0\,;0) : 6 1 + 0 + 0 + d = 0 d = -6 [formule] Vérification sur les DEUX autres points — c'est ce qui valide vraiment le calcul : B(0\,;2\,;0) : 0 + 6 + 0 - 6 = 0 ✓ C(0\,;0\,;3) : 0 + 0 + 6 - 6 = 0 ✓ 👉 Les trois points annulent l'équation : le plan est bien (ABC).

   6x + 3y + 2z - 6 = 0

5. Étape 5 : 👉 La forme remarquable. En divisant tout par 6 et en isolant : [formule] Les dénominateurs 1, 2, 3 sont exactement les abscisses des points d'intersection avec les axes — c'est-à-dire les coordonnées non nulles de A, B, C. C'est la forme « intercepts », et elle vaut pour tout plan coupant les trois axes : x{p} + y{q} + z{r} = 1 passe par (p,0,0), (0,q,0) et (0,0,r). ℹ️ On aurait donc pu écrire l'équation directement, sans aucun calcul de vecteur normal — mais il fallait connaître la forme. L'erreur classique : Vérifier l'équation sur un seul point — celui qui a servi à calculer d. Ce point l'annule par construction : le contrôle est vide. Ce sont les deux autres qui valident le vecteur normal. À retenir : Deux vecteurs vecteur normal équation d par un point. 👉 Et vérifier sur les deux points restants, jamais sur celui qui a donné d.